如图，在平行六面体 A B C D-A_ 1 B_ 1 C…——2017 高考数学第 25 题答案解析

【解答】
（2017•江苏）如图，在平行六面体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A A_{1} \perp$ 平面 $A B C D$ ，且 $A B=A D=2, A A_{1}=\sqrt{3}, \angle B A D=120^{\circ}$ ．
（1）求异面直线 $A_{1} B$ 与 $A C_{1}$ 所成角的余弦值；
（2）求二面角 $B-A_{1} D-A$ 的正弦值．

【分析】在平面 $A B C D$ 内，过 $A$ 作 $A x \perp A D$ ，由 $A A_{1} \perp$ 平面 $A B C D$ ，可得 $A A_{1} \perp A x$ ， $A A_{1} \perp A D$ ，以 $A$ 为坐标原点，分别以 $A x , A D , A A_{1}$ 所在直线为 $x , y , z$ 轴建立空间直角坐标系．结合已知求出 $A, B, C$ ，$D, A_{1}, C_{1}$ 的坐标，进一步求出 $\overrightarrow{A_{1} B}$ ， $\overrightarrow{\mathrm{AC}_{1}}, \overrightarrow{\mathrm{DB}}, \overrightarrow{\mathrm{DA}_{1}}$ 的坐标．
（1）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线 $A_{1} B$ 与 $A C_{1}$ 所成角的余弦值；
（2）求出平面 $\mathrm{BA}_{1} \mathrm{D}$ 与平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{AD}$ 的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值求得二面角 $B-A_{1} D-A$ 的余弦值，进一步得到正弦值。

【解答】解：在平面 ABCD 内，过 A 作 $\mathrm{Ax} \perp \mathrm{AD}$ ，
$\because \mathrm{AA}_{1} \perp$ 平面 $\mathrm{ABCD}, \mathrm{AD} , \mathrm{Ax} \subset$ 平面 ABCD ，
$\therefore \mathrm{AA}_{1} \perp \mathrm{Ax}, \quad \mathrm{AA}_{1} \perp \mathrm{AD}$ ，
以 $A$ 为坐标原点，分别以 $A x , A D , A A_{1}$ 所在直线为 $x , y , z$ 轴建立空间直角坐标系。
$\because \mathrm{AB}=\mathrm{AD}=2, \quad \mathrm{AA}_{1}=\sqrt{3}, \quad \angle \mathrm{BAD}=120^{\circ}$,
$\therefore A(0,0,0), B(\sqrt{3},-1,0), C(\sqrt{3}, 1,0)$ ，
D（ $0,2,0$ ），
$\mathrm{A}_{1}(0,0, \sqrt{3}), \mathrm{C}_{1}(\sqrt{3}, 1, \sqrt{3})$ ．
$\overrightarrow{\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}}=(\sqrt{3},-1,-\sqrt{3}), \overrightarrow{\mathrm{AC}}=(\sqrt{3}, 1, \sqrt{3}), \overrightarrow{\mathrm{DB}}=(\sqrt{3},-3,0)$ ，
$\overrightarrow{\mathrm{DA}_{1}}=(0,-2, \sqrt{3})$.

①$\because \cos <\overrightarrow{\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}>=\frac{\overrightarrow{\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{\left|\overrightarrow{\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}}\right||\overrightarrow{\mathrm{AC}}|}=\frac{-1}{\sqrt{7} \times \sqrt{7}}=-\frac{1}{7}$ ．
∴ 异面直线 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}$ 与 $\mathrm{AC}_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{1}{7}$ ；
②设平面 $\mathrm{BA}_{1} \mathrm{D}$ 的一个法向量为 $\overrightarrow{\mathrm{n}}=(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})$ ，
由 $\left\{\begin{array}{l}\vec{n} \cdot \overrightarrow{D B}=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{D A_{1}}=0\end{array}\right.$ ，得 $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3} x-3 y=0 \\ -2 y+\sqrt{3} z=0\end{array}\right.$, 取 $x=\sqrt{3}$ ，得 $\vec{n}=\left(\sqrt{3}, 1, \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right)$ ；
取平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{AD}$ 的一个法向量为 $\overrightarrow{\mathrm{IH}}=(1,0,0)$ ．
$\therefore \cos <\vec{m}, \vec{n}>=\frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}||\vec{n}|}=\frac{\sqrt{3}}{1 \times \sqrt{3+1+\frac{4}{3}}}=\frac{3}{4}$ ．
∴ 二面角 $B-A_{1} D-A$ 的正弦值为 $\frac{3}{4}$ ，则二面角 $B-A_{1} D-A$ 的正弦值为 $\sqrt{1-\left(\frac{3}{4}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{7}}{4}$ ．

【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角，训练了利用空间向量求空间角，是中档题．