2013_退役省自主命题 (2013·理)
21．（14分）（2013•广东）设函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=(\mathrm{x}-1) \mathrm{e}^{\mathrm{x}}-\mathrm{kx}^{2}(\mathrm{k} \in \mathrm{R})$ ．
①当 $\mathrm{k}=1$ 时，求函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的单调区间；
②当 $\mathrm{k} \in\left(\frac{1}{2}, 1\right]$ 时，求函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $[0, \mathrm{k}]$ 上的最大值 M ．
## 2013年广东省高考数学试卷（理科）
【解答】
（14分）（ $2013 \bullet$ 。东）设函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=(\mathrm{x}-1) \mathrm{e}^{\mathrm{x}}-\mathrm{kx}^{2}(\mathrm{k} \in \mathrm{R})$ ．
（1）当 $\mathrm{k}=1$ 时，求函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的单调区间；
（2）当 $k \in\left(\frac{1}{2}, 1\right]$ 时，求函数 $f(x)$ 在 $[0, k]$ 上的最大值 $M$ ．
考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：压轴题；导数的综合应用。
分析：（1）利用导数的运算法则即可得出 $f^{\prime}(x)$ ，令 $f^{\prime}(x)=0$ ，即可得出实数根，通过列表即可得出其单调区间；
（2）利用导数的运算法则求出 $f^{\prime}(x)$ ，令 $f^{\prime}(x)=0$ 得出极值点，列出表格得出单调区间，比较区间端点与极值即可得到最大值。
解答：解：（1）当 $k=1$ 时，$f(x)=(x-1) e^{x}-x^{2} f(x)=e^{x}+(x-1) e^{x}-2 x=x\left(e^{x}-2\right)$
令 $f^{\prime}(x)=0$ ，解得 $x_{1}=0, x_{2}=\ln 2>0$
所以 $f(x), f(x)$ 随 $x$ 的变化情况如下表：
| x | $(-\infty, 0)$ | 0 | $(0, \ln 2)$ | $\ln 2$ | $(\ln 2,+\infty)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ | + | 0 | - | 0 | + |
| $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ | $\lambda$ | 极大值 | $\searrow$ | 极小值 | $\lambda$ |
所以函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的单调增区间为 $(-\infty, 0)$ 和 $(\ln 2,+\infty)$ ，单调减区间为 $(0, \ln 2)$
② $\mathrm{f}(\mathrm{x})=(\mathrm{x}-1) \mathrm{e}^{\mathrm{x}}-\mathrm{kx}^{2}, \mathrm{x} \in[0, \mathrm{k}], \mathrm{k} \in\left(\frac{1}{2}, 1\right]$ ．
$f^{\prime}(x)=x e^{x}-2 k x=x\left(e^{x}-2 k\right) f^{\prime}(x)=0$ ，解得 $x_{1}=0, x_{2}=\ln (2 k)$
令 $\phi(k)=k-\ln (2 k), k \in\left(\frac{1}{2}, 1\right], \phi^{\prime}(k)=1-\frac{1}{k}=\frac{k-1}{k} \leqslant 0$
所以 $\phi(\mathrm{k})$ 在 $\left(\frac{1}{2}, 1\right]$ 上是减函数，$\therefore \phi(1) \leq \phi(\mathrm{k})<\phi\left(\frac{1}{2}\right), ~ \therefore 1-\ln 2 \leq \phi(\mathrm{k})<\frac{1}{2}<\mathrm{k}$ ．
即 $0<\ln (2 \mathrm{k})<\mathrm{k}$
所以 $f(x), f(x)$ 随 $x$ 的变化情况如下表：
| x | $(0, \ln (2 \mathrm{k}$ <br> $))$ | $\ln (2 \mathrm{k})$ | $(\ln (2 \mathrm{k}), \mathrm{k}$ |
|---|---|---|---|
| $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ | - | 0 | + |
| $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ | $\searrow$ | 极小值 | $\pi$ |
$\mathrm{f}(0)=-1, \mathrm{f}(\mathrm{k})=(\mathrm{k}-1) \mathrm{e}^{\mathrm{k}}-\mathrm{k}^{3} \mathrm{f}(\mathrm{k})-\mathrm{f}(0)=(\mathrm{k}-1) \mathrm{e}^{\mathrm{k}}-\mathrm{k}^{3}+1=(\mathrm{k}-1) \mathrm{e}^{\mathrm{k}}-\left(\mathrm{k}^{3}-1\right)=($
$\mathrm{k}-1) \mathrm{e}^{\mathrm{k}}-(\mathrm{k}-1)\left(\mathrm{k}^{2}+\mathrm{k}+1\right)=(\mathrm{k}-1)\left[\mathrm{e}^{\mathrm{k}}-\left(\mathrm{k}^{2}+\mathrm{k}+1\right)\right]$
因为 $\mathrm{k} \in\left(\frac{1}{2}, 1\right]$ ，所以 $\mathrm{k}-1 \leq 0$
对任意的 $k \in\left(\frac{1}{2}, 1\right], y=e^{x}$ 的图象恒在 $y=k^{2}+k+1$ 下方，所以 $e^{k}-\left(k^{2}+k+1\right) \leq 0$
所以 $\mathrm{f}(\mathrm{k})-\mathrm{f}(0) \geq 0$ ，即 $\mathrm{f}(\mathrm{k}) \geq \mathrm{f}(0)$
所以函数 $f(x)$ 在 $[0, k]$ 上的最大值 $M=f(k)=(k-1) e^{k}-k^{3}$ 。
点评：
熟练掌握导数的运算法则、利用导数求函数的单调性、极值与最值得方法是解题的关键．