（14分）如图，在三棱锥 V-A B C 中，平面 V A…——2015 高考数学第 18 题答案解析

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积； LS ：直线与平面平行； LY ：平面与平面垂直。

【专题】15：综合题；5F：空间位置关系与距离．
【分析】（1）利用三角形的中位线得出 $O M / / V B$ ，利用线面平行的判定定理证明 $V B / /$ 平面 $M O C$ ；
（2）证明：$O C \perp$ 平面 $V A B$ ，即可证明平面 $M O C \perp$ 平面 $V A B$
（3）利用等体积法求三棱锥 V－ABC 的体积．
【解答】（1）证明：$\because O, M$ 分别为 $A B, V A$ 的中点，
$\therefore \mathrm{OM} / / \mathrm{VB}$ ，
$\because \mathrm{VB} \not \subset$ 平面 $\mathrm{MOC}, \mathrm{OM} \mathrm{\subset}$ 平面 MOC ，
$\therefore \mathrm{VB} / /$ 平面 MOC ；
（2）$\because A C=B C, ~ O$ 为 $A B$ 的中点，
$\therefore \mathrm{OC} \perp \mathrm{AB}$,
∵ 平面 $\mathrm{VAB} \perp$ 平面 $\mathrm{ABC}, \mathrm{OCC} \subset$ 平面 ABC ，
$\therefore \mathrm{OC} \perp$ 平面 VAB ，
$\because \mathrm{OCC}$ 平面 MOC，
∴ 平面 $\mathrm{MOC} \perp$ 平面 VAB
（3）在等腰直角三角形 ACB 中， $\mathrm{AC}=\mathrm{BC}=\sqrt{2}, \therefore \mathrm{AB}=2, \mathrm{OC}=1$ ，
$\therefore \mathrm{S}_{\triangle \mathrm{VAB}}=\sqrt{3}$ ，
$\because O C \perp$ 平面 $V A B$ ，

$\therefore \mathrm{V}_{\mathrm{C}-\mathrm{VAB}}=\frac{1}{3} O C \cdot \mathrm{~S}_{\triangle \mathrm{VAB}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，
$\therefore V_{V-A B C}=V_{C-V A B}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ．
【点评】本题考查线面平行的判定，考查平面与平面垂直的判定，考查体积的计算，正确运用线面平行、平面与平面垂直的判定定理是关键．