（20）（本小题满分 12 分，（I）小问 4 分，（II…——2013 高考数学第 20 题答案解析

解析：体现了数学转化与化归思想
（I）因为 $a^{2}+b^{2}+\sqrt{2} a b=c^{2}$
由余弦定理有 $\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b}=\frac{-\sqrt{2} a b}{2 a b}=\frac{-\sqrt{2}}{2}$ ，故 $C=\frac{3 \pi}{4}$
（II）由题意得 $\frac{(\cos \alpha \cos A-\sin \alpha \sin A)(\cos \alpha \cos B-\sin \alpha \sin B)}{\cos ^{2} \alpha}=\frac{\sqrt{2}}{5}$
因此 $(\tan \alpha \sin A-\cos A)(\tan \alpha \sin B-\cos B)=\frac{\sqrt{2}}{5}$

$$ \begin{aligned} & \tan ^{2} \alpha \sin A \sin B-\tan \alpha(\sin A \cos B+\cos A \sin B)+\cos A \cos B=\frac{\sqrt{2}}{5} \\ & \tan ^{2} \alpha \sin A \sin B-\tan \alpha \sin (A+B)+\cos A \cos B=\frac{\sqrt{2}}{5} \end{aligned} $$

因为 $C=\frac{3 \pi}{4}, A+B=\frac{\pi}{4}$ 所以 $\sin (A+B)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 因为 $\cos (A+B)=\cos A \cos B-\sin A \sin B$
即 $\frac{3 \sqrt{2}}{5}-\sin A \sin B=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 解得 $\sin A \sin B=\frac{3 \sqrt{2}}{5}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{10}$
由（1）得 $\tan ^{2} \alpha-5 \tan \alpha+4=0$ 解得 $\tan \alpha=4, \tan \alpha=1$