11． 双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别是 $F_{1}, F_{2}$ ，左、右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与曲线 $C$ 的一条渐近线交于 $M, N$ 两点，且 $\angle N A_{1} M=\frac{5 \pi}{6}$ ，则
参考答案
ACD
双曲线 C: x^ 2 a^ 2 - y^ 2 b^ 2…——2025 高考数学第 11 题答案解析
2025_新课标II卷
完整解析 · 逐步详解
【解答】
双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 左右焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，左右顶点为 $A_{1}, A_{2}$ ．以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与 $C$ 的一条渐近线交于 $M, N$ ，且 $\angle N A_{1} M=\frac{5 \pi}{6}$ ，则
A． $\angle A_{1} M A_{2}=\frac{\pi}{6}$
B． $\left|M A_{1}\right|=2\left|M A_{2}\right|$
C． $C$ 离心率为 $\sqrt{13}$
D． 当 $a=\sqrt{2}$ 时，四边形 $N A_{1} M A_{2}$ 面积为 $8 \sqrt{3}$
【答案】ACD
【解答】
由对称性不妨取斜率为正的渐近线 $l_{M N}: y=\frac{b}{a} x$ ，
又 $M O=r=c$ ，则易知 $M(a, b)$ ，又 $A_{1}(-a, 0)$ ，
$A_{2}(a, 0)$,
则 $M A_{2} \perp A_{1} A_{2}$ ，如图
$\angle A_{1} M A_{2}=\pi-\angle N A_{1} M=\frac{\pi}{6}, ~ \mathrm{~A}$ 选项正确；
则在 Rt $\triangle A_{1} M A_{2}$ 中，$\left|M A_{1}\right|=\sqrt{3}\left|M A_{2}\right|$ ，B 选项错误，
$\because \tan \angle A_{1} M A_{2}=\frac{2 a}{b}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,
则 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{13}$ ，C 选项正确；
当 $a=\sqrt{2}$ 时，$S_{N A_{1} M A_{2}}=2 \times \frac{1}{2}\left|M A_{1}\right| \cdot\left|M A_{2}\right|=2 a b=8 \sqrt{3}, ~ \mathrm{D}$ 选项正确．
✅ 来源：2025年 · 全国 · 2025_新课标II卷 · 第 11 题 · 本题已通过人工审核与系统自动校验