2022_全国乙卷 (2022·文)
15．过四点 $(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)$ 中的三点的一个圆的方程为 $\_\_\_\_$。
【答案】 $(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=13$ 或 $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=5$ 或 $\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}+\left(y-\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{65}{9}$ 或 $\left(x-\frac{8}{5}\right)^{2}+(y-1)^{2}=\frac{169}{25}$.
## 【解析】
【分析】法一：设圆的方程为 $x^{2}+y^{2}+D x+E y+F=0$ ，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；
## 【详解】［法一］：圆的一般方程
依题意设圆的方程为 $x^{2}+y^{2}+D x+E y+F=0$ ，
（1）若过 $(0,0),(4,0),(-1,1)$ ，则 $\left\{\begin{array}{l}F=0 \\ 16+4 D+F=0 \\ 1+1-D+E+F=0\end{array}\right.$ ，解得 $\left\{\begin{array}{l}F=0 \\ D=-4 \\ E=-6\end{array}\right.$ ，
所以圆的方程为 $x^{2}+y^{2}-4 x-6 y=0$ ，即 $(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=13$ ；
（2）若过 $(0,0),(4,0),(4,2)$ ，则 $\left\{\begin{array}{l}F=0 \\ 16+4 D+F=0 \\ 16+4+4 D+2 E+F=0\end{array}\right.$ ，解得 $\left\{\begin{array}{l}F=0 \\ D=-4 \\ E=-2\end{array}\right.$
所以圆的方程为 $x^{2}+y^{2}-4 x-2 y=0$ ，即 $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=5$ ；
（3）若过 $(0,0),(4,2),(-1,1)$ ，则 $\left\{\begin{array}{l}F=0 \\ 1+1-D+E+F=0 \\ 16+4+4 D+2 E+F=0\end{array}\right.$ ，解得 $\left\{\begin{array}{l}F=0 \\ D=-\frac{8}{3} \\ E=-\frac{14}{3}\end{array}\right.$ ，
所以圆的方程为 $x^{2}+y^{2}-\frac{8}{3} x-\frac{14}{3} y=0$ ，即 $\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}+\left(y-\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{65}{9}$ ；
（4）若过 $(-1,1),(4,0),(4,2)$ ，则 $\left\{\begin{array}{l}1+1-D+E+F=0 \\ 16+4 D+F=0 \\ 16+4+4 D+2 E+F=0\end{array}\right.$ ，解得 $\left\{\begin{array}{l}F=-\frac{16}{5} \\ D=-\frac{16}{5} \\ E=-2\end{array}\right.$ ，所以圆的方程
为 $x^{2}+y^{2}-\frac{16}{5} x-2 y-\frac{16}{5}=0$ ，即 $\left(x-\frac{8}{5}\right)^{2}+(y-1)^{2}=\frac{169}{25}$ ；
故答案为：$(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=13$ 或 $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=5$ 或 $\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}+\left(y-\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{65}{9}$ 或
$\left(x-\frac{8}{5}\right)^{2}+(y-1)^{2}=\frac{169}{25}$.
## ［法二］：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）
设点 $A(0,0), B(4,0), C(-1,1), D(4,2)$
（1）若圆过 $A , B , C$ 三点，圆心在直线 $x=2$ ，设圆心坐标为 $(2, a)$ ，则 $4+a^{2}=9+(a-1)^{2} \Rightarrow a=3, r=\sqrt{4+a^{2}}=\sqrt{5}$ ，所以圆的方程为 $(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=13$ ；
（2）若圆过 $A , B , D$ 三点，设圆心坐标为 $(2, a)$ ，则 $4+a^{2}=4+(a-2)^{2} \Rightarrow a=1, r=\sqrt{4+a^{2}}=\sqrt{5}$ ，所以圆的方程为 $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=5$ ；
（3）若圆过 $A , C , D$ 三点，则线段 $A C$ 的中垂线方程为 $y=x+1$ ，线段 $A D$ 的中垂线方程为 $y=-2 x+5$ ，联立得 $x=\frac{4}{3}, y=\frac{7}{3} \Rightarrow r=\frac{\sqrt{65}}{3}$ ，所以圆的方程为 $\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}+\left(y-\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{65}{9}$ ；
（4）若圆过 $B , C , D$ 三点，则线段 $B D$ 的中垂线方程为 $y=1$ ，线段 $B C$ 中垂线方程为 $y=5 x-7$ ，联立得 $x=\frac{8}{5}, y=1 \Rightarrow r=\frac{13}{5}$ ，所以圆的方程为 $\left(x-\frac{8}{5}\right)^{2}+(y-1)^{2}=\frac{169}{25}$ ．
故答案为：$(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=13$ 或 $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=5$ 或 $\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}+\left(y-\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{65}{9}$ 或
$\left(x-\frac{8}{5}\right)^{2}+(y-1)^{2}=\frac{169}{25}$.
【整体点评】法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；
法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．