（5分）（2016•天津）已知函数 f(x)=sin ^…——2016 高考数学第 8 题答案解析

【解答】
（5分）（2016•天津）已知函数 $f(x)=\sin ^{2} \frac{\omega x}{2}+\frac{1}{2} \sin \omega x-\frac{1}{2}(\omega>0), x \in R$ ，若 $f(x$ ）在区间 $(\pi, 2 \pi)$ 内没有零点，则 $\omega$ 的取值范围是（ ）
A．$\left(0, \frac{1}{8}\right]$
B．$\left(0, \frac{1}{4}\right] \cup\left[\frac{5}{8}, 1\right)$
C．$\left(0, \frac{5}{8}\right]$
D．$\left(0, \frac{1}{8}\right] \cup\left[\frac{1}{4}, \frac{5}{8}\right]$

【分析】函数 $f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2} \sin \left(\omega x-\frac{\pi}{4}\right)$ ，由 $f(x)=0$ ，可得 $\sin \left(\omega x-\frac{\pi}{4}\right)=0$ ，解得 $x =\frac{k \pi+\frac{\pi}{4}}{\omega} \notin(\pi, 2 \pi)$, 因此 $\omega \notin\left(\frac{1}{8}, \frac{1}{4}\right) \cup\left(\frac{5}{8}, \frac{5}{4}\right) \cup\left(\frac{9}{8}, \frac{9}{4}\right) \cup \ldots=\left(\frac{1}{8}, \frac{1}{4}\right) \cup \left(\frac{5}{8},+\infty\right)$ ，即可得出．
【解答】解：函数 $f(x)=\sin ^{2} \frac{\omega x}{2}+\frac{1}{2} \sin \omega x-\frac{1}{2}=\frac{1-\cos \omega x}{2}+\frac{1}{2} \sin \omega x-\frac{1}{2}= \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \left(\omega_{x}-\frac{\pi}{4}\right)$ ，
由 $f(x)=0$ ，可得 $\sin \left(\omega x-\frac{\pi}{4}\right)=0$ ，
解得 $x=\frac{k \pi+\frac{\pi}{4}}{\omega} \notin(\pi, 2 \pi)$ ，
$\therefore \omega \notin\left(\frac{1}{8}, \frac{1}{4}\right) \cup\left(\frac{5}{8}, \frac{5}{4}\right) \cup\left(\frac{9}{8}, \frac{9}{4}\right) \cup \ldots=\left(\frac{1}{8}, \frac{1}{4}\right) \cup\left(\frac{5}{8},+\infty\right)$,

$\because f(x)$ 在区间 $(\pi, 2 \pi)$ 内没有零点，
$\therefore \omega \in\left(0, \frac{1}{8}\right] \cup\left[\frac{1}{4}, \frac{5}{8}\right]$ ．
故选：D．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力 ，属于中档题。

## 二、填空题本大题6小题，每题5分，共30分