如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在…——2015 高考数学第 14 题答案解析

【答案】 $\frac{2}{5}$

## 【解析】

建立坐标系如图所示．设 $A B=1$，则 $\overrightarrow{A F}=\left(1, \frac{1}{2}, 0\right), E\left(\frac{1}{2}, 0,0\right)$．设 $M(0, y, 1)(0 \leq y \leq 1)$，则 $\overrightarrow{E M}=\left(-\frac{1}{2}, y, 1\right)$，由于异面直线所成角的范围为 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right]$，所以
$\cos \theta=\frac{\left|-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} y\right|}{\sqrt{1+\frac{1}{4}} \cdot \sqrt{\frac{1}{4}+y^{2}+1}}=\frac{2(1-y)}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{4 y^{2}+5}} \cdot\left[\frac{2(1-y)}{\sqrt{4 y^{2}+5}}\right]^{2}=1-\frac{8 y+1}{4 y^{2}+5}$，令 $8 y+1=t, 1 \leq t \leq 9$，则
$\frac{8 y+1}{4 y^{2}+5}=\frac{16}{t+\frac{81}{t}-2} \geq \frac{1}{5}$，当 $t=1$ 时取等号．所以
$\cos \theta=\frac{\left|-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} y\right|}{\sqrt{1+\frac{1}{4}} \cdot \sqrt{\frac{1}{4}+y^{2}+1}}=\frac{2(1-y)}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{4 y^{2}+5}} \leq \frac{1}{\sqrt{5}} \times \frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2}{5}$，当 $y=0$ 时，取得最大值．

【考点定位】1、空间两直线所成的角；2、不等式．

【名师点睛】空间的角与距离的问题，只要便于建立坐标系均可建立坐标系，然后利用公式求解．解本题要注意，空间两直线所成的角是不超过 90 度的。几何问题还可结合图形分析何时取得最大值。当点 M 在 P 处时， EM 与 AF 所成角为直角，此时余弦值为 0 （最小），当 M 点向左移动时， EM 与 AF 所成角逐渐变小，点 M到达 Q 点时，角最小，从而余弦值最大。