已知圆锥的顶点为 P，底面圆心为 O, A B 为底面直径…——2023 高考数学第 9 题答案解析

【答案】AC

【解析】

【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断 A、B 选项的正确性，利用二面角的知识判断 C、D 选项的正确性．
【详解】依题意，$\angle A P B=120^{\circ}, P A=2$ ，所以 $O P=1, O A=O B=\sqrt{3}$ ，
A 选项，圆锥的体积为 $\frac{1}{3} \times \pi \times(\sqrt{3})^{2} \times 1=\pi, \mathrm{A}$ 选项正确；
B 选项，圆锥的侧面积为 $\pi \times \sqrt{3} \times 2=2 \sqrt{3} \pi$ ，B 选项错误；

C 选项，设 $D$ 是 $A C$ 的中点，连接 $O D, P D$ ，

则 $A C \perp O D, A C \perp P D$ ，所以 $\angle P D O$ 是二面角 $P-A C-O$ 的平面角，
则 $\angle P D O=45^{\circ}$ ，所以 $O P=O D=1$ ，
故 $A D=C D=\sqrt{3-1}=\sqrt{2}$ ，则 $A C=2 \sqrt{2}$ ，C 选项正确；
D 选项，$P D=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$ ，所以 $S_{\triangle P A C}=\frac{1}{2} \times 2 \sqrt{2} \times \sqrt{2}=2$ ，D 选项错误．
故选：AC．