（13 分）已知函数 f(x)=sin x-2 3 sin…——2015 高考数学第 15 题答案解析

（1）利用降幂公式 $\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1-\cos x}{2}$ 对函数解析式进行化简：
$$ \begin{aligned} f(x) &= \sin x - 2\sqrt{3} \cdot \frac{1-\cos x}{2} \\ &= \sin x - \sqrt{3}(1-\cos x) \\ &= \sin x + \sqrt{3}\cos x - \sqrt{3} \end{aligned} $$
利用辅助角公式提取公因数 $2$：
$$ \begin{aligned} f(x) &= 2 \left( \frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x \right) - \sqrt{3} \\ &= 2 \left( \sin x \cos \frac{\pi}{3} + \cos x \sin \frac{\pi}{3} \right) - \sqrt{3} \\ &= 2 \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right) - \sqrt{3} \end{aligned} $$
由正弦型函数 $y=A\sin(\omega x+\varphi)+k$ 的周期公式 $T=\frac{2\pi}{|\omega|}$，此处 $\omega=1$，故 $f(x)$ 的最小正周期为：
$$ T = \frac{2\pi}{1} = 2\pi $$

（2）因为 $x \in \left[0, \frac{2\pi}{3}\right]$，所以相位 $x + \frac{\pi}{3}$ 的取值范围为：
$$ x + \frac{\pi}{3} \in \left[ \frac{\pi}{3}, \pi \right] $$
令 $t = x + \frac{\pi}{3}$，则 $t \in \left[ \frac{\pi}{3}, \pi \right]$。
考察正弦函数 $y=\sin t$ 在该区间上的单调性与值域：
当 $t \in \left[ \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2} \right]$ 时，$\sin t$ 单调递增；
当 $t \in \left[ \frac{\pi}{2}, \pi \right]$ 时，$\sin t$ 单调递减。
端点及极值点处的函数值为：
$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\sin \frac{\pi}{2} = 1$，
$\sin \pi = 0$。
因此，$\sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right)$ 在区间 $\left[ \frac{\pi}{3}, \pi \right]$ 上的最小值为 $0$（当 $x+\frac{\pi}{3}=\pi$ 即 $x=\frac{2\pi}{3}$ 时取得）。

进而求 $f(x)$ 的最小值：
$$ \begin{aligned} f(x)_{\min} &= 2 \times 0 - \sqrt{3} \\ &= -\sqrt{3} \end{aligned} $$
故 $f(x)$ 在区间 $\left[0, \frac{2\pi}{3}\right]$ 上的最小值为 $-\sqrt{3}$。