（13 分）已知函数 f(x)=sin x-2 3 sin…——2015 高考数学第 15 题答案解析

【考点】GP：两角和与差的三角函数；H1：三角函数的周期性；HW：三角函数的最值．

【专题】57：三角函数的图像与性质．
【分析】（1）由三角函数恒等变换化简函数解析式可得 $f(x)=2 \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right) -\sqrt{3}$ ，由三角函数的周期性及其求法即可得解；
②由 $x \in\left[0, \frac{2 \pi}{3}\right]$ ，可求范围 $x+\frac{\pi}{3} \in\left[\frac{\pi}{3}, \pi\right]$ ，即可求得 $f(x)$ 的取值范围，即可得解．

【解答】解：（1）$\because f(x)=\sin x-2 \sqrt{3} \sin ^{2} \frac{x}{2}$
$=\sin x-2 \sqrt{3} \times \frac{1-\cos x}{2}$
$=\sin x+\sqrt{3} \cos x-\sqrt{3}$
$=2 \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)-\sqrt{3}$
$\therefore f(x)$ 的最小正周期 $T=\frac{2 \pi}{1}=2 \pi$ ；
②$\because x \in\left[0, \frac{2 \pi}{3}\right]$ ，
$\therefore x+\frac{\pi}{3} \in\left[\frac{\pi}{3}, \pi\right]$ ，
$\therefore \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \in[0,1]$ ，即有：$f(x)=2 \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)-\sqrt{3} \in[-\sqrt{3}, 2-\sqrt{3}]$ ，
∴ 可解得 $f(x)$ 在区间 $\left[0, \frac{2 \pi}{3}\right]$ 上的最小值为：$-\sqrt{3}$ ．
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值的应用，属于基本知识的考查．