2013 全国高考数学 2013_退役省自主命题 (2013·文) 第 16 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

16．（本小题满分 12 分）

已知函数 $f(x)=\cos x \cdot \cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right)$

（1）求 $f\left(\frac{2 \pi}{3}\right)$ 的值；
（2）求使 $f(x)<\frac{1}{4}$ 成立的 x 的取值集合

Accepted Answer

(1) $f\left(\frac{2 \pi}{3}\right)=\cos \frac{2 \pi}{3} \cos \frac{\pi}{3}=-\frac{1}{4}$; (2) $f(x)=\cos x\left(\frac{1}{2} \cos x+\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x\right)=\frac{1}{2} \cos ^{2} x+\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x \cos x=\frac{1}{4}+\frac{1}{4} \cos 2 x+\frac{\sqrt{3}}{4} \sin 2 x$ $=\frac{1}{2} \cos \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)+\frac{1}{4}$，因为 $f(x)<\frac{1}{4}$，所以 $\cos \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)<0$，故 $\frac{\pi}{2}+2 k \pi<2 x-\frac{\pi}{3}<\frac{3 \pi}{2}+2 k \pi$， 所以 $\frac{5 \pi}{12}+k \pi<x<\frac{11 \pi}{12}+k \pi, k \in Z$；所以 x 的取值集合为 $\left\{x \left\lvert\, \frac{5 \pi}{12}+k \pi<x<\frac{11 \pi}{12}+k \pi\right., k \in Z\right\}$

2013 高考数学第 16 题答案解析

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