（本小题满分 12 分） 已知函数 f(x)=cos x…——2013 高考数学第 16 题答案解析

【答案】①$f\left(\frac{2 \pi}{3}\right)=\cos \frac{2 \pi}{3} \cos \frac{\pi}{3}=-\frac{1}{4}$；
②$f(x)=\cos x\left(\frac{1}{2} \cos x+\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x\right)=\frac{1}{2} \cos ^{2} x+\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x \cos x=\frac{1}{4}+\frac{1}{4} \cos 2 x+\frac{\sqrt{3}}{4} \sin 2 x$
$=\frac{1}{2} \cos \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)+\frac{1}{4}$，因为 $f(x)<\frac{1}{4}$，所以 $\cos \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)<0$，故 $\frac{\pi}{2}+2 k \pi<2 x-\frac{\pi}{3}<\frac{3 \pi}{2}+2 k \pi$，
所以 $\frac{5 \pi}{12}+k \pi<x<\frac{11 \pi}{12}+k \pi, k \in Z$；所以 x 的取值集合为 $\left\{x \left\lvert\, \frac{5 \pi}{12}+k \pi<x<\frac{11 \pi}{12}+k \pi\right., k \in Z\right\}$
【解析】（1）将 $x=\frac{2 \pi}{3}$ 带入函数即可；（2）先利用三角恒等交换化简 $f(x)$，再解不等式。
【考点定位】本题主要考查三角函数的求值、三角恒等变换以及三角函数与不等式，考查学生的基本运算能力以及化归与转化能力。