15． （13 分）
已知函数 $f(x)=\cos (2 x+\varphi)(0 \leqslant \varphi<\pi), f(0)=\frac{1}{2}$ ．
（1） 求 $\varphi$ ；
② 设函数 $g(x)=f(x)+f\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$ ，求 $g(x)$ 的值域和单调区间．
（13 分） 已知函数 f(x)=cos (2 x+ )(…——2025 高考数学第 15 题答案解析
2025_新课标II卷
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【解答】
（13 分）$f(x)=\cos (2 x+\varphi)(0 \leq \varphi<\pi), f(0)=\frac{1}{2}$
（1） 求 $\varphi$ ；
② $g(x)=f(x)+f\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$ ，求 $g(x)$ 的值域和单调区间。
【解答】解：（1）$f(0)=\cos \varphi=\frac{1}{2}$ ，由 $0 \leqslant \varphi<\pi$ ，故 $\varphi=\frac{\pi}{3}$ ；
② $f(x)=\cos \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right), \quad f\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\cos 2 x, \quad g(x)=f(x)+f\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3} \cos \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right)$
故 $g(x)$ 的值域为 $[-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$ ，
令 $2 k \pi \leqslant 2 x+\frac{\pi}{6} \leqslant \pi+2 k \pi$ ，解得 $-\frac{\pi}{12}+k \pi \leqslant x \leqslant \frac{5 \pi}{12}+k \pi$ ，
即 $g(x)$ 的单调递减区间为 $\left[-\frac{\pi}{12}+k \pi, \frac{5 \pi}{12}+k \pi\right], k \in \mathbf{Z}$
同理可得 $g(x)$ 的单调递增区间为 $\left[\frac{5 \pi}{12}+k \pi, \frac{11 \pi}{12}+k \pi\right], k \in \mathbf{Z}$
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