（14 分）如图，在三棱柱 A B C-A_ 1 B_ 1…——2014 高考数学第 17 题答案解析

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直．
【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】（1）证明 $A B \perp B_{1} B C C_{1}$ ，可得平面 $A B E \perp B_{1} B C C_{1}$ ；
（2）证明 $\mathrm{C}_{1} \mathrm{~F} / /$ 平面 ABE ，只需证明四边形 $\mathrm{FGEC}_{1}$ 为平行四边形，可得 $\mathrm{C}_{1} \mathrm{~F} / / \mathrm{EG}$ ；
（3）利用 $V_{E-A B C}=\frac{1}{3} S \triangle A B C \bullet A A_{1}$ ，可求三棱锥 $E-A B C$ 的体积．
【解答】解：（1）证明：∵ 三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧棱垂直于底面，
$\therefore \mathrm{BB}_{1} \perp \mathrm{AB}$ ，

$\because A B \perp B C, B B_{1} \cap B C=B, B B_{1}, B C \subset$ 平面 $B_{1} B C C_{1}$ ，
$\therefore \mathrm{AB} \perp$ 平面 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{BCC}_{1}$ ，
$\because A B C$ 平面 $A B E$ ，
∴ 平面 $A B E \perp$ 平面 $B_{1} B C C_{1}$ ；
（ II ）证明：取 AB 中点 G ，连接 $\mathrm{EG}, \mathrm{FG}$ ，则
$\because F$ 是 $B C$ 的中点，
$\therefore \mathrm{FG} / / \mathrm{AC}, \mathrm{FG}=\frac{1}{2} \mathrm{AC}$ ，
$\because E$ 是 $A_{1} C_{1}$ 的中点，
$\therefore \mathrm{FG} / / \mathrm{EC}_{1}, \quad \mathrm{FG}=\mathrm{EC}_{1}$ ，
∴ 四边形 $\mathrm{FGEC}_{1}$ 为平行四边形，
$\therefore \mathrm{C}_{1} \mathrm{~F} / / \mathrm{EG}$ ，
$\because \mathrm{C}_{1} \mathrm{~F} \not \subset$ 平面 $\mathrm{ABE}, \mathrm{EG} \subset$ 平面 ABE ，
$\therefore \mathrm{C}_{1} \mathrm{~F} / /$ 平面 ABE ；
（3）解：$\because A A_{1}=A C=2, B C=1, A B \perp B C$ ，
$\therefore \mathrm{AB}=\sqrt{3}$ ，
$\therefore V_{E-A B C}=\frac{1}{3} S_{\triangle A B C} \cdot A A_{1}=\frac{1}{3} \times\left(\frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times 1\right) \times 2=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ．

【点评】本题考查线面平行、垂直的证明，考查三棱锥 $\mathrm{E}-\mathrm{ABC}$ 的体积的计算，正确运用线面平行、垂直的判定定理是关键．