2020_新课标 II 卷 (2020·文)
20．如图，已知三棱柱 $A B C$－
$A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面是正三角形，侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 是矩形，$M, N$ 分别为 $B C, B_{1} C_{1}$ 的中点，$P$ 为 $A M$ 上一点．过 $B_{1} C_{1}$ 和 $P$ 的平面交 $A B$ 于 $E$ ，交 $A C$ 于 $F$ ．
（1）证明：$A A_{1} / / M N$ ，且平面 $A_{1} A M N \perp$ 平面 $E B_{1} C_{1} F$ ；
②设 $O$ 为 $\triangle A_{1} B_{1} C_{1}$ 的中心，若 $A O=A B=6, A O / /$ 平面 $E B_{1} C_{1} F$ ，且 $\angle M P N=\frac{\pi}{3}$ ，求四棱锥 $B- E B_{1} C_{1} F$ 的体积．
【答案】（1）证明见解析；② 24 ．
【解析】
【分析】
①由 $M, N$ 分别为 $B C, B_{1} C_{1}$ 的中点，$M N / / C C_{1}$ ，根据条件可得 $A A_{1} / / B B_{1}$ ，可证
$M N / / A A_{1}$ ，要证平面 $E B_{1} C_{1} F \perp$ 平面 $A_{1} A M N$ ，只需证明 $E F \perp$ 平面 $A_{1} A M N$ 即可；
（2）根据已知条件求得 $S_{\text {四边形 } E B_{1} C_{1} F}$ 和 $M$ 到 $P N$ 的距离，根据椎体体积公式，即可求得 $V_{B-E B_{1} C_{1} F}$.
【详解】①$\because M, N$ 分别为 $B C, B_{1} C_{1}$ 的中点，
$\therefore M N / / B B_{1}$
又 $A A_{1} / / B B_{1}$
$\therefore M N / / A A_{1}$
在等边 $\triangle A B C$ 中，$M$ 为 $B C$ 中点，则 $B C \perp A M$
又 ∵ 侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 为矩形，
$\therefore B C \perp B B_{1}$
$\because M N / / B B_{1}$
$M N \perp B C$
由 $M N \cap A M=M, M N, A M \subset$ 平面 $A_{1} A M N$
$\therefore B C \perp$ 平面 $A_{1} A M N$
又 $\because B_{1} C_{1} / / B C$ ，且 $B_{1} C_{1} \not \subset$ 平面 $A B C, B C \subset$ 平面 $A B C$ ，
$\therefore B_{1} C_{1} / /$ 平面 $A B C$
又 $\because B_{1} C_{1} \subset$ 平面 $E B_{1} C_{1} F$ ，且平面 $E B_{1} C_{1} F \cap$ 平面 $A B C=E F$
$\therefore B_{1} C_{1} / / E F$
$\therefore E F / / B C$
又 $\because B C \perp$ 平面 $A_{1} A M N$
$\therefore E F \perp$ 平面 $A_{1} A M N$
$\because E F \subset$ 平面 $E B_{1} C_{1} F$
∴ 平面 $E B_{1} C_{1} F \perp$ 平面 $A_{1} A M N$
（2）过 $M$ 作 $P N$ 垂线，交点为 $H$ ，画出图形，如图
$\because A O / /$ 平面 $E B_{1} C_{1} F$
$A O \subset$ 平面 $A_{1} A M N$ ，平面 $A_{1} A M N \cap$ 平面 $E B_{1} C_{1} F=N P$
$\therefore A O / / N P$
又 $\because N O / / A P$
$\therefore A O=N P=6$
$\because O$ 为 $\triangle A_{1} B_{1} C_{1}$ 的中心．
$\therefore O N=\frac{1}{3} A_{1} C_{1} \sin 60^{\circ}=\frac{1}{3} \times 6 \times \sin 60^{\circ}=\sqrt{3}$
故：$O N=A P=\sqrt{3}$ ，则 $A M=3 A P=3 \sqrt{3}$ ，
∵ 平面 $E B_{1} C_{1} F \perp$ 平面 $A_{1} A M N$ ，平面 $E B_{1} C_{1} F \cap$ 平面 $A_{1} A M N=N P$ ，
$M H \subset$ 平面 $A_{1} A M N$
$\therefore M H \perp$ 平面 $E B_{1} C_{1} F$
又 ∵ 在等边 $\triangle A B C$ 中 $\frac{E F}{B C}=\frac{A P}{A M}$
即 $E F=\frac{A P \cdot B C}{A M}=\frac{\sqrt{3} \times 6}{3 \sqrt{3}}=2$
由①知，四边形 $E B_{1} C_{1} F$ 为梯形
∴ 四边形 $E B_{1} C_{1} F$ 的面积为：$S_{\text {四边形 } E B_{1} C_{1} F}=\frac{E F+B_{1} C_{1}}{2} \cdot N P=\frac{2+6}{2} \times 6=24$
$\therefore V_{B-E B_{1} C_{1} F}=\frac{1}{3} S_{\text {四边形 } E B_{1} C_{1} F} \cdot h$ ，
$h$ 为 $M$ 到 $P N$ 的距离 $M H=2 \sqrt{3} \cdot \sin 60^{\circ}=3$ ，
$\therefore V=\frac{1}{3} \times 24 \times 3=24$ ．
【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其求四棱锥的体积，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面垂直的证法和棱锥的体积公式，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题．