（13 分）已知函数 f(x)=x^ 2 +x sin x…——2013 高考数学第 18 题答案解析

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性； 6 H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．

【专题】53：导数的综合应用．
【分析】（I）由题意可得 $f^{\prime}(a)=0, f(a)=b$ ，联立解出即可；
（II）利用导数得出其单调性与极值即最值，得到值域即可。
【解答】解：（I）$f^{\prime}(x)=2 x+x \cos x=x(2+\cos x)$ ，
∵ 曲线 $y=f(x)$ 在点（ $a, f(a)$ ）处与直线 $y=b$ 相切，
$\therefore f^{\prime}(a)=a(2+\cos a)=0, f(a)=b$ ，
联立 $\left\{\begin{array}{l}2 a+a \cos a=0 \\ a^{2}+a \sin a+\cos a=b\end{array}\right.$ ，
解得 $\left\{\begin{array}{l}a=0 \\ b=1\end{array}\right.$ ，
故 $a=0, b=1$ ．
（II）$\because f^{\prime}(x)=x(2+\cos x)$ ．
令 $f^{\prime}(x)=0$ ，得 $x=0, x, f(x), f^{\prime}(x)$ 的变化情况如表：

x	（ $-\infty$ ，0）	0	（0，＋$\infty$ ）
f（x）	－	0	＋
$\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})$		1

所以函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty, 0)$ 上单调递减，在区间 $(0,+\infty)$ 上单调递增， $f(0)=1$ 是 $f(x)$ 的最小值．

当 $\mathrm{b} \leqslant 1$ 时，曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 与直线 $\mathrm{x}=\mathrm{b}$ 最多只有一个交点；
当 $b>1$ 时，$f(-2 b)=f(2 b) \geqslant 4 b^{2}-2 b-1>4 b-2 b-1>b, f(0)=1

由于函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty, 0)$ 和 $(0,+\infty)$ 上均单调，所以当 $b>1$ 时曲线 $y=f(x)$ 与直线 $y=b$ 有且只有两个不同的交点。

综上可知，如果曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 与直线 $\mathrm{y}=\mathrm{b}$ 有且只有两个不同的交点，那么 b 的取值范围是 $(1,+\infty)$ ．

【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值及其几何意义是解题的关键．