已知函数 f(x)=|2 x-a|+a ． （1）当 a=…——2016 高考数学第 24 题答案解析

【考点】R5：绝对值不等式的解法．
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；59：不等式的解法及应用

【分析】①当 $a=2$ 时，由已知得 $|2 x-2|+2 \leq 6$ ，由此能求出不等式 $f(x) \leq 6$ 的解集。
（2）由 $f(x)+g(x)=|2 x-1|+|2 x-a|+a \geq 3$ ，得 $\left|x-\frac{1}{2}\right|+\left|x-\frac{a}{2}\right| \geq \frac{3-a}{2}$ ，由此能求出 a 的取值范围．

【解答】解：（1）当 $a=2$ 时，$f(x)=|2 x-2|+2$ ，
$\because f(x) \leq 6, \quad \therefore|2 x-2|+2 \leq 6$ ，
$|2 x-2| \leq 4, \quad|x-1| \leq 2$,
$\therefore-2 \leq x-1 \leq 2$ ，
解得 $-1 \leq x \leq 3$ ，
∴ 不等式 $f(x) \leq 6$ 的解集为 $\{x \mid-1 \leq x \leq 3\}$ ．
②$\because g(x)=|2 x-1|$ ，
$\therefore f(x)+g(x)=|2 x-1|+|2 x-a|+a \geq 3$ ，
$2\left|x-\frac{1}{2}\right|+2\left|x-\frac{a}{2}\right|+a \geq 3$ ，
$\left|x-\frac{1}{2}\right|+\left|x-\frac{a}{2}\right| \geq \frac{3-a}{2}$,
当 $a \geq 3$ 时，成立，
当 $a<3$ 时，$\left|x-\frac{1}{2}\right|+\left|x-\frac{a}{2}\right| \geq \frac{1}{2}|a-1| \geq \frac{3-a}{2}>0$ ，
$\therefore(a-1)^{2} \geq(3-a)^{2}$,
解得 $2 \leq a<3$ ，
$\therefore \mathrm{a}$ 的取值范围是 $[2,+\infty)$ ．
【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用。