2015_北京卷 (2015·理)
13．（5 分）在 $\triangle A B C$ 中，点 $M, N$ 满足 $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=2 \overrightarrow{\mathrm{MC}}, \overrightarrow{\mathrm{BN}}=\overrightarrow{\mathrm{NC}}$ ，若 $\overrightarrow{\mathrm{MN}}=x \overrightarrow{\mathrm{AB}}+y \overrightarrow{\mathrm{AC}}$ ，则 $x= \frac{1}{2}-, y=-\frac{1}{6}-$.
【考点】 9 H ：平面向量的基本定理．
【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】首先利用向量的三角形法则，将所求用向量 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}$ 表示，然后利用平面向量基本定理得到 $x$ ，$y$ 值．
【解答】解：由已知得到 $\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\overrightarrow{\mathrm{MC}}+\overrightarrow{\mathrm{CN}}=\frac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{AC}}+\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{CB}}=\frac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{AC}}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}})=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\frac{1}{6} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$ ；由平面向量基本定理，得到 $x=\frac{1}{2}, y=-\frac{1}{6}$ ；
故答案为：$\frac{1}{2},-\frac{1}{6}$ ．
【点评】本题考查了平面向量基本定理的运用，一个向量用一组基底表示，存在唯一的实数对（ $x, y$ ）使，向量等式成立．