若存在过点 (1,0) 的直线与曲线 y=x^ 3 和 y…——2009 高考数学第 12 题答案解析

【解答】
设过 $(1,0)$ 的直线与 $y=x^{3}$ 相切于点 $\left(x_{0}, x_{0}{ }^{3}\right)$ ，所以切线方程为 $y-x_{0}{ }^{3}=3 x_{0}{ }^{2}\left(x-x_{0}\right)$
即 $y=3 x_{0}{ }^{2} x-2 x_{0}{ }^{3}$ ，又 $(1,0)$ 在切线上，则 $x_{0}=0$ 或 $x_{0}=-\frac{3}{2}$ ，
当 $x_{0}=0$ 时，由 $y=0$ 与 $y=a x^{2}+\frac{15}{4} x-9$ 相切可得 $a=-\frac{25}{64}$ ，
当 $x_{0}=-\frac{3}{2}$ 时，由 $y=\frac{27}{4} x-\frac{27}{4}$ 与 $y=a x^{2}+\frac{15}{4} x-9$ 相切可得 $a=-1$ ，所以选 $A$ ．