2015_退役省自主命题 (2015·理)
16．（选修 4－4：坐标系与参数方程）
在直角坐标系 $x o y$ 中，以 $O$ 为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线 $l$ 的极坐标方程为 $\rho(\sin \theta-3 \cos \theta)=0$ ，曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=t-\frac{1}{t}, \\ y=t+\frac{1}{t}\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），$l$ 与 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，则 $|A B|=$ $\_\_\_\_$ ．
【答案】 $2 \sqrt{5}$
【解析】因为 $\rho(\sin \theta-3 \cos \theta)=0$ ，所以 $\rho \sin \theta-3 \rho \cos \theta$ ，所以 $y-3 x=0$ ，即 $y=3 x$ ；
由 $\left\{\begin{array}{l}x=t-\frac{1}{t}, \\ y=t+\frac{1}{t}\end{array}\right.$ 消去 $t$ 得 $y^{2}-x^{2}=4$ ．联立方程组 $\left\{\begin{array}{l}y=3 x \\ y^{2}-x^{2}=4\end{array}\right.$ ，解得 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ y=\frac{3 \sqrt{2}}{2}\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{\sqrt{2}}{2} \\ y=-\frac{3 \sqrt{2}}{2}\end{array}\right.$ ，
即 $A\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{3 \sqrt{2}}{2}\right), B\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{3 \sqrt{2}}{2}\right)$ ，
由两点间的距离公式得 $|A B|=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{3 \sqrt{2}}{2}+\frac{3 \sqrt{2}}{2}\right)^{2}}=2 \sqrt{5}$ ．
【考点定位】极坐标方程、参数方程与普通方程的转化，两点间的距离．
【名师点睛】化参数方程为普通方程时，未注意到普通方程与参数方程的等价性而出错．