（12分） A B C 的内角A，B，C的对边分别为 a,…——2017 高考数学第 17 题答案解析

【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．
【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值； 58 ：解三角形。

【分析】（1）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，
（2）根据两角余弦公式可得 $\cos \mathrm{A}=\frac{1}{2}$ ，即可求出 $\mathrm{A}=\frac{\pi}{3}$ ，再根据正弦定理可得 $\mathrm{bc}=$ 8，根据余弦定理即可求出 $\mathrm{b}+\mathrm{c}$ ，问题得以解决．
【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得 $S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} a c \sin B=\frac{a^{2}}{3 \sin A}$ ，
$\therefore 3 \mathrm{c} \sin \mathrm{B} \sin \mathrm{A}=2 \mathrm{a}$ ，
由正弦定理可得 $3 \sin C \sin B \sin A=2 \sin A$ ，
$\because \sin \mathrm{A} \neq 0$,
$\therefore \sin \mathrm{Bsin} \mathrm{C}=\frac{2}{3}$ ；
②$\because 6 \cos B \cos C=1$ ，
$\therefore \cos \mathrm{B} \cos \mathrm{C}=\frac{1}{6}$ ，
$\therefore \cos \mathrm{B} \cos \mathrm{C}-\sin \mathrm{B} \sin \mathrm{C}=\frac{1}{6}-\frac{2}{3}=-\frac{1}{2}$ ，
$\therefore \cos (\mathrm{B}+\mathrm{C})=-\frac{1}{2}$ ，
$\therefore \cos \mathrm{A}=\frac{1}{2}$ ，
$\because 0<\mathrm{A}<\pi$ ，
$\therefore \mathrm{A}=\frac{\pi}{3}$ ，
$\because \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2 R=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2 \sqrt{3}$,
$\therefore \sin B \sin C=\frac{b}{2 R} \cdot \frac{c}{2 R}=\frac{b c}{(2 \sqrt{3})^{2}}=\frac{b c}{12}=\frac{2}{3}$ ，

$\therefore \mathrm{bc}=8$ ，
$\because a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b \cos A$,
$\therefore \mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}-\mathrm{bc}=9$ ，
$\therefore(b+c)^{2}=9+3 c b=9+24=33$ ，
$\therefore \mathrm{b}+\mathrm{c}=\sqrt{33}$
∴ 周长 $a+b+c=3+\sqrt{33}$ ．
【点评】本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定理余弦定理，考查了学生的运算能力，属于中档题．