8．设函数 $f(x)=\sin \omega x+\cos \omega x(\omega>0)$ ，若 $f(x+\pi)=f(x)$ 恒成立，且 $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$ 上存在零点，则$\omega$ 的最小值为
参考答案C
设函数 f(x)=sin ω x+cos ω x(ω>0)…——2025 高考数学第 8 题答案解析
2025_北京卷 (2025)
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【答案】C
【解析】
【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解。
【详解】函数 $f(x)=\sin \omega x+\cos \omega x=\sqrt{2} \sin \left(\omega x+\frac{\pi}{4}\right)(\omega>0)$ ，
设函数 $f(x)$ 的最小正周期为 $T$ ，由 $f(x+\pi)=f(x)$ 可得 $k T=\pi,\left(k \in \mathrm{~N}^{*}\right)$ ，
所以 $T=\frac{2 \pi}{\omega}=\frac{\pi}{k},\left(k \in \mathrm{~N}^{*}\right)$ ，即 $\omega=2 k,\left(k \in \mathrm{~N}^{*}\right)$ ；
又函数 $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$ 上存在零点，且当 $x \in\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$ 时，$\omega x+\frac{\pi}{4} \in\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi \omega}{4}+\frac{\pi}{4}\right]$ ，
所以 $\frac{\pi \omega}{4}+\frac{\pi}{4} \geq \pi$ ，即 $\omega \geq 3$ ；
综上，$\omega$ 的最小值为4。
故选：C．
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