设函数 f(x)=ln |2 x+1|-ln |2 x-1…——2020 高考数学第 9 题答案解析

【答案】D

## 【解析】

【分析】
根据奇偶性的定义可判断出 $f(x)$ 为奇函数，排除 AC ；当 $x \in\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ 时，利用函数单调性

的性质可判断出 $f(x)$ 单调递增，排除B；当 $x \in\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)$ 时，利用复合函数单调性可判断出 $f(x)$ 单调递减，从而得到结果．

【详解】由 $f(x)=\ln |2 x+1|-\ln |2 x-1|$ 得 $f(x)$ 定义域为 $\left\{x \left\lvert\, x \neq \pm \frac{1}{2}\right.\right\}$ ，关于坐标原点对称

又 $f(-x)=\ln |1-2 x|-\ln |-2 x-1|=\ln |2 x-1|-\ln |2 x+1|=-f(x)$ ，
$\therefore f(x)$ 为定义域上的奇函数，可排除AC；
当 $x \in\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ 时，$f(x)=\ln (2 x+1)-\ln (1-2 x)$ ，
$\mathrm{Q} y=\ln (2 x+1)$ 在 $\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ 上单调递增，$y=\ln (1-2 x)$ 在 $\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ 上单调递减，
$\therefore f(x)$ 在 $\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ 上单调递增，排除B；
当 $x \in\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)$ 时，$f(x)=\ln (-2 x-1)-\ln (1-2 x)=\ln \frac{2 x+1}{2 x-1}=\ln \left(1+\frac{2}{2 x-1}\right)$ ，
$\because \mu=1+\frac{2}{2 x-1}$ 在 $\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)$ 上单调递减，$f(\mu)=\ln \mu$ 在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：$f(x)$ 在 $\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)$ 上单调递减，D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数＂同增异减＂性得到结论．