2010_退役省自主命题 (2010·文)
19．（本题满分 12 分）
某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物， 6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素C；一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物， 6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素C。另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含 64 个单位的碳水化合物和 42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素C
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？
解：设为该儿童分别预订 $x$ 个单位的午餐和 $y$ 个单位的晚餐，设费用为 F ，则 $\mathrm{F}=2.5 x+4 y$ ，由题意知：
$$ \left\{\begin{array}{l} 12 x+8 y \geq 64 \\ 6 x+6 y \geq 42 \\ 6 x+10 y \geq 54 \\ x>0, y>0 \end{array}\right. $$
画出可行域：
变换目标函数：$y=-\frac{5}{8} x+\frac{F}{4}$
当目标函数过点 $A$ ，即直线 $6 x+6 y=42$ 与 $6 x+10 y=54$ 的交点 $(4,3)$
F 取得最小。
即要满足营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订 4 个单
的午餐和 3 个单位的晚餐。