2010年高考数学真题及答案解析

（1）已知集合 $A=|x||x| \leq 2, x \in R, B=x|\sqrt{x} \leq 4, x \in Z|$ ，则 $A \cap B=$

（2） $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 为平面向量，已知 $\mathrm{a}=(4, ~ 3), ~ 2 \mathrm{a}+\mathrm{b}=(3, ~ 18)$ ，则 $\mathrm{a}, ~ \mathrm{~b}$ 夹角的余弦值等于

（3）已知复数 $z=\frac{\sqrt{3}+i}{(1-\sqrt{3} i)^{2}}$ ，则 $|z|=$

（4）曲线 $\mathrm{y}=x^{2}-2 x+1$ 在点（ 1,0 ）处的切线方程为

（5）中心在原点，焦点在 $x$ 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（ 4, － 2 ），则它的离心率为

（6）如图，质点 $p$ 在半径为 2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为 $p_{0}$（ $\sqrt{2}$ ， $-\sqrt{2}$ ），角速度为 1 ，那么点 $p$ 到 $x$ 轴距离 $d$ 关于时间 $t$ 的函数图像大致为
（A）

（7）
设长方体的长、宽、高分别为 $2 \mathrm{a} , \mathrm{a} , \mathrm{a}$ ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为

（8）如果执行右面的框图，输入 $\mathrm{N}=5$ ，则输出的数等于

（9）设偶函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 满足 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=2^{\mathrm{x}}-4$
$(x \geq 0)$ ，则
$\{x \mid f(x-2)>0\}=$
（A）$\{x \mid x<-2$ 或 $x>4\}$
（D）
（D）$\frac{\sqrt{\frac{\pi}{4}} \sqrt{2} \sqrt{2}}{a}$
（B）

（B）

＂

（11）已知 $\square \mathrm{ABCD}$ 的三个顶点为 $\mathrm{A}(-1,2), \mathrm{B}(3,4), \mathrm{C}(4,-$ 2），点 $(x, y)$ 在 $\square \mathrm{ABCD}$ 的内部，则 $z=2 x-5 y$ 的取值范围是

（12）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\left\{\begin{array}{l}|\lg x| \mid, 0 \leq x \leq 10 \\ -\frac{1}{2} x+6, x>0\end{array}\right.$ 若 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ 互不相等，且 $\mathrm{f}(\mathrm{a})=\mathrm{f}(\mathrm{b})=$
$f(c)$ ，则 $a b c$ 的取值范围是

（13）圆心在原点上与直线 $x+y-2=0$ 相切的圆的方程为 $\_\_\_\_$。

（14）设函数 $y=f(x)$ 为区间 $[0,1]$ 上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有 $0 \leq f(x) \leq 1$ ，可以用随机模拟方法近似计算由曲线 $y=f(x)$ 及直线 $x=0, x=1$ ，$y=0$ 所围成部分的面积 S ，先产生两组（每组 $N$ 个）区间 $[0,1]$ 上的均匀随机数 $x_{1}, x_{2} \ldots \ldots$ 和 $y_{1}, y_{2} \ldots y_{n}$ ，由此得到 N 个点 $\left(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}, \mathrm{y}_{\mathrm{i}}\right)(i=1,2, \ldots, \mathrm{~N})$ 。再数出其中满足 $\mathrm{y}_{\mathrm{i}} \leq \mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}\right)(i=1,2 \ldots \ldots N)$ 的点数 $N_{1}$ ，那么由随机模拟方法可得 S 的近似值为 $\_\_\_\_$

（15）一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的＿
$\_\_\_\_$ （填入所有可能的几何体前的编号）
（1）三棱锥（2）四棱锥
（3）三棱柱
（4）四棱柱
（5）圆锥
（6）圆柱

（16）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， D 为 BC 边上一点，$B C=3 B D, A D=\sqrt{2}, \angle A D B=135^{\circ}$ ．若 $A C=\sqrt{2} A B$ ，则 $\mathrm{BD}=$ $\_\_\_\_$。

（17）（本小题满分 12 分）
设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{3}=5, a_{10}=-9$ 。

（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 及使得 $S_{n}$ 最大的序号 $n$ 的值。

（18）（本小题满分 12 分）
如图，已知四棱锥 $P-A B C D$ 的底面为等腰梯形，$A B \| C D, A C \perp B D$ ，垂足为 $H, P H$ 是四棱锥的高。
（I）证明：平面 $P A C \perp$ 平面 $P B D$ ；
（II）若 $A B=\sqrt{6}, \angle A P B=\angle A D B=60^{\circ}$ ，求四棱锥 $P-A B C D$ 的体积。

（19）（本小题满分12分）
为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老人，结果如下：

| 性别 <br> 是否需要志愿者 | 男 | 女 |
| :--- | :--- | :--- |
| 需要 | 40 | 30 |
| 不需要 | 160 | 270 |

（I）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（II）能否有 $99 \%$ 的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（III）根据（II）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由。

附：

| $P\left(K^{2} \geqslant k\right)$ | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| :---: | :--- | :--- | :---: |
| $k$ | 3.841 | 6.635 | 10.828 |

$$ K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)} $$

（20）（本小题满分 12 分）
设 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $\mathrm{E}: x^{2}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(0<\mathrm{b}<1)$ 的左、右焦点，过 $F_{1}$ 的直线 $l$与 E 相交于 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 两点，且 $\left|A F_{2}\right|,|A B|,\left|B F_{2}\right|$ 成等差数列。
（I）求 $|A B|$
（II）若直线 $l$ 的斜率为 1 ，求 b 的值。

（21）本小题满分 12 分）
设函数 $f_{(x)}=x\left(e^{x}-1\right)-a x^{2}$
（I）若 $\mathrm{a}=\frac{1}{2}$ ，求 $f_{(x)}$ 的单调区间；
（II）若当 $x \geq 0$ 时 $f_{(x)} \geq 0$ ，求 a 的取值范围

（22）（本小题满分 10 分）选修4－1：几何证明选讲
如图：已知圆上的弧 $\overparen{A C}=\overparen{B D}$ ，过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于
E 点，证明：
（I）$\angle A C E=\angle B C D$ 。
（II）$B C^{2}=\mathrm{BE} \times \mathrm{CD}$ 。

（23）（本小题满分 10 分）选修 $4-4$ ：坐标系与参数方程已知直线 $\mathrm{C}_{1}:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=1+\mathrm{t} \cos \alpha \\ y=t \sin \alpha\end{array}\right.$（t为参数）， $\mathrm{C}_{2}:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\cos \theta \\ y=\sin \theta\end{array}\right.$（ $\theta$ 为参数），
（I）当 $\alpha=\frac{\pi}{3}$ 时，求 $\mathrm{C}_{1}$ 与 $\mathrm{C}_{2}$ 的交点坐标；
（II）过坐标原点 0 做 $\mathrm{C}_{1}$ 的垂线，垂足为 $\mathrm{A}, \mathrm{P}$ 为 0 A 中点，当 $\alpha$ 变化时，求 P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。

（24）（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲
设函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=|2 x-4|+1$ 。
（I）画出函数 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的图像：
（II）若不等式 $f(x) \leq a x$ 的解集非空，求 $n$ 的取值范围

1．不等式 $\frac{2-x}{x+4}>0$ 的解集是 $\_\_\_\_$ $(-4,2)$。

2．若复数 $z=1-2 i$（ $i$ 为虚数单位），则 $z \cdot \bar{z}+z=$ $\_\_\_\_$ 6－2i。

3.

动点 $P$ 到点 $F(2,0)$ 的距离与它到直线 $x+2=0$ 的距离相等，则 $P$ 的轨迹方程为
$y^{2}=8 x$ 。

4．行列式 $\left|\begin{array}{cc}\cos \frac{\pi}{3} & \sin \frac{\pi}{6} \\ \sin \frac{\pi}{3} & \cos \frac{\pi}{6}\end{array}\right|$ 的值是 $\_\_\_\_$ 0。

5．圆 $C: x^{2}+y^{2}-2 x-4 y+4=0$ 的圆心到直线 $1: 3 x+4 y+4=0$ 的距离 $d=$ $\_\_\_\_$ 3。

6．随机变量 $\boldsymbol{\xi}$ 的概率分布率由下图给出：

| $\mathbf{x}$ | 7 | $\mathbf{8}$ | $\mathbf{9}$ | $\mathbf{1 0}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $\mathbf{P}(\xi=x)$ | 0.3 | 0.35 | 0.2 | 0.15 |

则随机变量 $\boldsymbol{\xi}$ 的均值是 $\_\_\_\_$ 8.2

8．对任意不等于 1 的正数 a ，函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\log _{a}(x+3)$ 的反函数的图像都经过点 P ，则点 P 的坐标是 $\_\_\_\_$ $(0,-2)$