（5分）（2016•江苏）在锐角三角形 ABC 中，若 s…——2016 高考数学第 14 题答案解析

【解答】
（5分）（2016 • 江苏）在锐角三角形 ABC 中，若 $\sin \mathrm{A}=2 \sin \mathrm{~B} \sin \mathrm{C}$ ，则 $\tan \mathrm{A} \tan \mathrm{B} \tan \mathrm{C}$ 的最小值是 $\_\_\_\_$ 8 ．
【分析】结合三角形关系和式子 $\sin \mathrm{A}=2 \sin \mathrm{~B} \sin \mathrm{C}$ 可推出 $\sin \mathrm{B} \cos \mathrm{C}+\cos \mathrm{B} \sin \mathrm{C}=2 \sin \mathrm{~B} \sin \mathrm{C}$ ，进而得到 $\tan B+\tan C=2 \tan B \tan C$ ，结合函数特性可求得最小值。
【解答】解：由 $\sin \mathrm{A}=\sin (\pi-\mathrm{A})=\sin (\mathrm{B}+\mathrm{C})=\sin \mathrm{B} \cos \mathrm{C}+\cos \mathrm{B} \sin \mathrm{C}, \sin \mathrm{A}=2 \sin \mathrm{~B} \sin \mathrm{C}$ ，可得 $\sin \mathrm{B} \cos \mathrm{C}+\cos \mathrm{B} \sin \mathrm{C}=2 \sin \mathrm{Bsin} \mathrm{C}$ ，

由三角形 ABC 为锐角三角形，则 $\cos \mathrm{B}>0, ~ \cos \mathrm{C}>0$ ，
在（1）式两侧同时除以 $\cos \mathrm{B} \cos \mathrm{C}$ 可得 $\tan \mathrm{B}+\tan \mathrm{C}=2 \tan \mathrm{~B} \tan \mathrm{C}$ ，
又 $\tan A=-\tan (\pi-A)=-\tan (B+C)=-\frac{\tan B+\tan C}{1-\tan B \tan C}$②，
则 $\tan A \tan B \tan C=-\frac{\tan B+\tan C}{1-\tan B \tan C} \cdot \tan B \tan C$ ，
由 $\tan B+\tan C=2 \tan B \tan C$ 可得 $\tan A \tan B \tan C=-\frac{2(\tan B \tan C)^{2}}{1-\tan B \tan C}$ ，
令 $\tan B \tan C=t$ ，由 $A, B, C$ 为锐角可得 $\tan A>0, \tan B>0, \tan C>0$ ，
由②式得 $1-\tan B \tan C<0$ ，解得 $t>1$ ，
$\tan \mathrm{A} \tan \mathrm{B} \tan \mathrm{C}=-\frac{2 \mathrm{t}^{2}}{1-\mathrm{t}}=-\frac{2}{\frac{1}{\mathrm{t}^{2}}-\frac{1}{\mathrm{t}}}$,
$\frac{1}{t^{2}}-\frac{1}{t}=\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{4}$, 由 $t>1$ 得，$-\frac{1}{4} \leq \frac{1}{t^{2}}-\frac{1}{t}<0$ ，
因此 $\tan \mathrm{A} \tan \mathrm{B} \tan \mathrm{C}$ 的最小值为 8 ，
当且仅当 $\mathrm{t}=2$ 时取到等号，此时 $\tan \mathrm{B}+\tan \mathrm{C}=4, \tan \mathrm{~B} \tan \mathrm{C}=2$ ，
解得 $\tan B=2+\sqrt{2}, \tan C=2-\sqrt{2}, \tan A=4$ ，（或 $\tan B$ ， $\tan C$ 互换），此时 $A, B, C$ 均为锐角

【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，有一定灵活性．