（本小题满分 13 分）如图 4，在平面四边形 A B C…——2014 高考数学第 19 题答案解析

【答案】①$\frac{\sqrt{21}}{7} \quad$② $4 \sqrt{7}$

## 【解析】

试题分析：（1）在 $\triangle C D E$ 中已知两边与一角，利用余弦定理即可对出第三条边 $D C$ 的长度，再利用余弦定理即可求出角 $C E D$ 的正弦值．
（2）由①三角形 $D E C$ 的三条边，根据正余弦直角利关系可得角 $D E C$ 的余弦值（或者利用正余弦之间的关系也可求的），角 $\angle D E C, \angle B E C, \angle A E B$ 之和为 $180^{\circ}$ ，其 4 两个角的正余弦值已知，则可以利用余弦的和差角公式求的角 $A E B$ 的余弦值，$A E$ 长度已知，利用宜角三角 $\pi, A E B$ 中公弦的定义即可求的 $B E$ 长．

试题解析：如图设 $\angle C E D=\alpha$
（1）在 $\triangle C D E$ 中，由余弦定理可得 $E C^{2}=C D^{2}+D E^{2}-2 \cdot C D \cdot D E \cdot \cos \angle E D C$ ，于是又题设可知 $7=C D^{2}+1+C D$ ，即 $C D^{2}+C D-6=0$ ，解得 $C D=2(C D=-3<0$ 舍去），

在 $\triangle C D E$ 中，由正弦定理可得 $\frac{D E}{\sin \angle E D C}=\frac{C D}{\sin \alpha} \Rightarrow \sin \alpha=\frac{C D \cdot \sin \frac{2 \pi}{3}}{E C}=\frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$ ，
即 $\sin \angle C E D=\frac{\sqrt{21}}{7}$ ．
②由题设可得 $0<\alpha<\frac{2 \pi}{3}$ ，于是根据正余弦之间的关系可得 $\cos \alpha=\sqrt{1-\sin ^{2} \alpha}=\sqrt{1-\frac{21}{49}}=\frac{2 \sqrt{7}}{7}$ ，而 $\angle A E D=\frac{2 \pi}{3}-\alpha$ ，所以 $\cos \angle A E B=\cos \left(\frac{2 \pi}{3}-\alpha\right)=\cos \frac{2 \pi}{3} \cos \alpha+\sin \frac{2 \pi}{3} \sin \alpha=-\frac{1}{2} \cos \alpha+\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha$

$=-\frac{1}{2} \times \frac{2 \sqrt{7}}{7}+\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{21}}{7}=\frac{\sqrt{7}}{14}$ ，在 Rt $\triangle E A B$ 中， $\cos \angle A E B=\frac{E A}{B E}=\frac{2}{B E}$ ，
所以 $B E=\frac{2}{\cos \triangle A E B}=\frac{2}{\left(\frac{\sqrt{7}}{14}\right)}=4 \sqrt{7}$ ．
【考点定位】正余弦定理 正余弦和差角公式 直角三角形 正余弦之间的关系