已知 A B C 是面积为 9 3 4 的等边三角形，且其…——2020 高考数学第 11 题答案解析

【答案】C

## 【解析】

## 【分析】

根据球 $O$ 的表面积和 $\triangle A B C$ 的面积可求得球 $O$ 的半径 $R$ 和 $\triangle A B C$ 外接圆半径 $r$ ，由球的性质可知所求距离 $d=\sqrt{R^{2}-r^{2}}$ ．

【详解】设球 $O$ 的半径为 $R$ ，则 $4 \pi R^{2}=16 \pi$ ，解得：$R=2$ ．
设 $\triangle A B C$ 外接圆半径为 $r$ ，边长为 $a$ ，
$\because \triangle A B C$ 是面积为 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ 的等边三角形，
$\therefore \frac{1}{2} a^{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ ，解得：$a=3, \therefore r=\frac{2}{3} \times \sqrt{a^{2}-\frac{a^{2}}{4}}=\frac{2}{3} \times \sqrt{9-\frac{9}{4}}=\sqrt{3}$ ，
∴ 球心 $O$ 到平面 $A B C$ 的距离 $d=\sqrt{R^{2}-r^{2}}=\sqrt{4-3}=1$ ．
故选：C．
【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面．