2009_江苏卷 (2009)
20．（本小题满分 16 分）设 $a$ 为实数，函数 $f(x)=2 x^{2}+(x-a)|x-a|_{\text {。若 }} f(0) \geq 1$ ，求 $a$ 的取值范围；求 $f(x)$ 的最小值；设函数 $h(x)=f(x), x \in(a,+\infty)$ ，直接写出（不需给出演算步骤）不等式 $h(x) \geq 1$ 的解集．
## 数学II（附加题）
参考公式： $1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}$ ．
【解答】
【解析】（1）若 $f(0) \geq 1$ ，则 $-a|a| \geq 1 \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a<0 \\ a^{2} \geq 1\end{array} \Rightarrow a \leq-1\right.$
（2）当 $x \geq a_{\text {时 }, f(x)=3 x^{2}-2 a x+a^{2},}^{f(x)_{\text {min }}}=\left\{\begin{array}{l}f(a), a \geq 0 \\ f\left(\frac{a}{3}\right), a<0\end{array}=\left\{\begin{array}{l}2 a^{2}, a \geq 0 \\ \frac{2 a^{2}}{3}, a<0\end{array}\right.\right.$
当 $x \leq a_{\text {时，}} f(x)=x^{2}+2 a x-a^{2}, \quad f(x)_{\text {min }}=\left\{\begin{array}{l}f(-a), a \geq 0 \\ f(a), a<0\end{array}=\left\{\begin{array}{l}-2 a^{2}, a \geq 0 \\ 2 a^{2}, a<0\end{array}\right.\right.$
综上
$$ f(x)_{\min }=\left\{\begin{array}{l} -2 a^{2}, a \geq 0 \\ \frac{2 a^{2}}{3}, a<0 \end{array}\right. $$
③$x \in(a,+\infty)$ 时，$h(x) \geq 1$ 得 $3 x^{2}-2 a x+a^{2}-1 \geq 0, \Delta=4 a^{2}-12\left(a^{2}-1\right)=12-8 a^{2}$
当 $a \leq-\frac{\sqrt{6}}{2}$ 或 $a \geq \frac{\sqrt{6}}{2}$ 时，$\Delta \leq 0, x \in(a,+\infty)$ ；
当 $-\frac{\sqrt{6}}{2}
1）$a \in\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2}\right)$ 时，$x \in(a,+\infty)$
2）$a \in\left[-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$ 时，$x \in\left[\frac{a+\sqrt{3-2 a^{2}}}{3},+\infty\right)$
3）$a \in\left(-\frac{\sqrt{6}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right]$ 时，$x \in\left(a, \frac{a-\sqrt{3-2 a^{2}}}{3}\right] \cup\left[\frac{a+\sqrt{3-2 a^{2}}}{3},+\infty\right)$