（5分）函数 f(x)=cos 2 x+6 cos ( π…——2016 高考数学第 11 题答案解析

【考点】HW：三角函数的最值．
【专题】33：函数思想；4J：换元法；56：三角函数的求值；57：三角函数的图像与性质。

【分析】运用二倍角的余弦公式和诱导公式，可得 $\mathrm{y}=1-2 \sin ^{2} \mathrm{x}+6 \sin \mathrm{x}$ ，令 $\mathrm{t}=\sin \mathrm{x}$ （ $-1 \leq \mathrm{t} \leq 1$ ），可得函数 $\mathrm{y}=-2 \mathrm{t}^{2}+6 \mathrm{t}+1$ ，配方，结合二次函数的最值的求法，

以及正弦函数的值域即可得到所求最大值．
【解答】解：函数 $f(x)=\cos 2 x+6 \cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)$
$=1-2 \sin ^{2} x+6 \sin x$ ，
令 $\mathrm{t}=\sin \mathrm{x}(-1 \leq \mathrm{t} \leq 1)$ ，
可得函数 $y=-2 t^{2}+6 t+1$
$=-2\left(\mathrm{t}-\frac{3}{2}\right)^{2}+\frac{11}{2}$ ，
由 $\frac{3}{2} \notin[-1,1]$ ，可得函数在 $[-1,1]$ 递增，
即有 $\mathrm{t}=1$ 即 $\mathrm{x}=2 \mathrm{k} \pi+\frac{\pi}{2}, \mathrm{k} \in \mathrm{Z}$ 时，函数取得最大值 5 ．
故选：B．
【点评】本题考查三角函数的最值的求法，注意运用二倍角公式和诱导公式，同时考查可化为二次函数的最值的求法，属于中档题．