（本小题满分 16 分） 如图，一个湖的边界是圆心为 O…——2019 高考数学第 18 题答案解析

【解答】
如图，一个湖的边界是圆心为 $O$ 的圆，湖的一侧有一条直线型公路 $l$ ，湖上有桥 $A B$（ $A B$ 是圆 $O$ 的直径）．规划在公路 $l$ 上选两个点 $P , Q$ ，并修建两段直线型道路 $P B , Q A$ ．规划要求：线段 $P B , Q A$ 上的所有点到点 $O$的距离均不小于圆 $O$ 的半径．已知点 $A , B$ 到直线 $l$ 的距离分别为 $A C$ 和 $B D(C , D$ 为垂足），测得 $A B=10, A C =6, B D=12$（单位：百米）．

（1）若道路 $P B$ 与桥 $A B$ 垂直，求道路 $P B$ 的长；
（2）在规划要求下，$P$ 和 $Q$ 中能否有一个点选在 $D$ 处？并说明理由；
（3）对规划要求下，若道路 $P B$ 和 $Q A$ 的长度均为 $d$（单位：百米）．求当 $d$ 最小时，$P , Q$ 两点间的距离．
【答案】（1） 15 （百米）；
（2）见解析；
③ $17+3 \sqrt{21}$（百米）．

## 【解析】

## 【分析】

解：解法一：
（1）过 $A$ 作 $A E \perp B D$ ，垂足为 $E$ ．利用几何关系即可求得道路 $P B$ 的长；
（2）分类讨论 $P$ 和 $Q$ 中能否有一个点选在 $D$ 处即可．
（3）先讨论点 $P$ 的位置，然后再讨论点 $Q$ 的位置即可确定当 $d$ 最小时，$P , Q$ 两点间的距离．
解法二：
（1）建立空间直角坐标系，分别确定点 $P$ 和点 $B$ 的坐标，然后利用两点之间距离公式可得道路 $P B$ 的长；
（2）分类讨论 $P$ 和 $Q$ 中能否有一个点选在 $D$ 处即可．
（3）先讨论点 $P$ 的位置，然后再讨论点 $Q$ 的位置即可确定当 $d$ 最小时，$P , Q$ 两点间的距离．
【详解】解法一：
（1）过 $A$ 作 $A E \perp B D$ ，垂足为 $E$ ．
由已知条件得，四边形 $A C D E$ 为矩形，$D E=B E=A C=6, A E=C D=8$ ．

因为 $P B \perp A B$ ，
所以 $\cos \angle P B D=\sin \angle A B E=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$ ．
所以 $P B=\frac{B D}{\cos \angle P B D}=\frac{12}{\frac{4}{5}}=15$ ．
因此道路 $P B$ 的长为 15 （百米）．

（2）（1）若 $P$ 在 $D$ 处，由（1）可得 $E$ 在圆上，则线段 $B E$ 上的点（除 $B, E$ ）到点 $O$ 的距离均小于圆 $O$ 的半径，所以 $P$ 选在 $D$ 处不满足规划要求。
（2）若 $Q$ 在 $D$ 处，连结 $A D$ ，由（1）知 $A D=\sqrt{A E^{2}+E D^{2}}=10$ ，
从而 $\cos \angle B A D=\frac{A D^{2}+A B^{2}-B D^{2}}{2 A D \cdot A B}=\frac{7}{25}>0$ ，所以 $\angle B A D$ 为锐角．
所以线段 $A D$ 上存在点到点 $O$ 的距离小于圆 $O$ 的半径．
因此，$Q$ 选在 $D$ 处也不满足规划要求．
综上，$P$ 和 $Q$ 均不能选在 $D$ 处。
（3）先讨论点 $P$ 的位置．
当 $\angle O B P<90^{\circ}$ 时，线段 $P B$ 上存在点到点 $O$ 的距离小于圆 $O$ 的半径，点 $P$ 不符合规划要求；
当 $\angle O B P \geq 90^{\circ}$ 时，对线段 $P B$ 上任意一点 $F, O F \geq O B$ ，即线段 $P B$ 上所有点到点 $O$ 的距离均不小于圆 $O$ 的半径 ，点 $P$ 符合规划要求。

设 $a^{x+y}=M \cdot N$ 为 $l$ 上一点，且 $P_{1} B \perp A B$ ，由（1）知，$P_{1} B=15$ ，
此时 $P_{1} D=P_{1} B \sin \angle P_{1} B D=P_{1} B \cos \angle E B A=15 \times \frac{3}{5}=9$ ；
当 $\angle O B P>90^{\circ}$ 时，在 $\triangle P P_{1} B$ 中，$P B>P_{1} B=15$ ．
由上可知，$d \geq 15$ ．
再讨论点 $Q$ 的位置．
由（2）知，要使得 $Q A \geq 15$ ，点 $Q$ 只有位于点 $C$ 的右侧，才能符合规划要求．当 $Q A=15$ 时， $C Q=\sqrt{Q A^{2}-A C^{2}}=\sqrt{15^{2}-6^{2}}=3 \sqrt{21}$ ．此时，线段 $Q A$ 上所有点到点 $O$ 的距离均不小于圆 $O$ 的半径．

综上，当 $P B \perp A B$ ，点 $Q$ 位于点 $C$ 右侧，且 $C Q=3 \sqrt{21}$ 时，$d$ 最小，此时 $P, Q$ 两点间的距离 $P Q=P D+C D+C Q= 17+3 \sqrt{21}$ ．

因此，$d$ 最小时，$P, Q$ 两点间的距离为 $17+3 \sqrt{21}$（百米）．
解法二：
（1）如图，过 $O$ 作 $O H \perp l$ ，垂足为 $H$ ．
以 $O$ 为坐标原点，直线 $O H$ 为 $y$ 轴，建立平面直角坐标系．

因为 $B D=12, A C=6$ ，所以 $O H=9$ ，直线 $l$ 的方程为 $y=9$ ，点 $A, B$ 的纵坐标分别为 $3,-3$ ．
因为 $A B$ 为圆 $O$ 的直径，$A B=10$ ，所以圆 $O$ 的方程为 $x^{2}+y^{2}=25$ ．
从而 $A(4,3), B(-4,-3)$ ，直线 $A B$ 的斜率为 $\frac{3}{4}$ ．
因为 $P B \perp A B$ ，所以直线 $P B$ 的斜率为 $-\frac{4}{3}$ ，
直线 $P B$ 的方程为 $y=-\frac{4}{3} x-\frac{25}{3}$ ．
所以 $P(-13,9), P B=\sqrt{(-13+4)^{2}+(9+3)^{2}}=15$ ．
因此道路 $P B$ 的长为 15 （百米）．
（2）（1）若 $P$ 在 $D$ 处，取线段 $B D$ 上一点 $E(-4,0)$ ，则 $E O=4<5$ ，所以 $P$ 选在 $D$ 处不满足规划要求．
（2）若 $Q$ 在 $D$ 处，连结 $A D$ ，由（1）知 $D(-4,9)$ ，又 $A(4,3)$ ，
所以线段 $A D: y=-\frac{3}{4} x+6(-4,,, 4)$ ．
在线段 $A D$ 上取点 $M\left(3, \frac{15}{4}\right)$ ，因为 $O M=\sqrt{3^{2}+\left(\frac{15}{4}\right)^{2}}<\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$ ，
所以线段 $A D$ 上存在点到点 $O$ 的距离小于圆 $O$ 的半径．
因此 $Q$ 选在 $D$ 处也不满足规划要求。
综上，$P$ 和 $Q$ 均不能选在 $D$ 处。

（3）先讨论点 $P$ 的位置．
当 $\angle O B P<90^{\circ}$ 时，线段 $P B$ 上存在点到点 $O$ 的距离小于圆 $O$ 的半径，点 $P$ 不符合规划要求；
当 $\angle O B P \geq 90^{\circ}$ 时，对线段 $P B$ 上任意一点 $F, O F \geq O B$ ，即线段 $P B$ 上所有点到点 $O$ 的距离均不小于圆 $O$ 的半径 ，点 $P$ 符合规划要求．

设 $a^{x+y}=M \cdot N$ 为 $l$ 一点，且 $P_{1} B \perp A B$ ，由（1）知，$P_{1} B=15$ ，此时 $P_{1}(-13,9)$ ；
当 $\angle O B P>90^{\circ}$ 时，在 $\triangle P P_{1} B$ 中，$P B>P_{1} B=15$ ．
由上可知，$d \geq 15$ ．
再讨论点 $Q$ 的位置．
由（2）知，要使得 $Q A \geq 15$ ，点 $Q$ 只有位于点 $C$ 的右侧，才能符合规划要求．
当 $Q A=15$ 时，设 $Q(a, 9)$ ，由 $A Q=\sqrt{(a-4)^{2}+(9-3)^{2}}=15(a>4)$ ，得 $a=4+3 \sqrt{21}$ ，所以 $Q(4+3 \sqrt{21}, 9)$ ，此时，线段 $Q A$ 上所有点到点 $O$ 的距离均不小于圆 $O$ 的半径．

综上，当 $P(-13,9), Q(4+3 \sqrt{21}, 9)$ 时，$d$ 最小，此时 $P, Q$ 两点间的距离
$P Q=4+3 \sqrt{21}-(-13)=17+3 \sqrt{21}$.
因此，$d$ 最小时，$P, Q$ 两点间的距离为 $17+3 \sqrt{21}$（百米）．
【点睛】本题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．