（本小题满分 16 分） 如图，一个湖的边界是圆心为 O…——2019 高考数学第 18 题答案解析

（1）如图，以 $O$ 为坐标原点，过 $O$ 且垂直于 $l$ 的直线为 $y$ 轴，建立平面直角坐标系．
由题意，圆 $O$ 的半径 $r = \frac{1}{2}AB = 5$．
因为 $A, B$ 到 $l$ 的距离分别为 $6, 12$，且 $O$ 为 $AB$ 中点，所以 $O$ 到 $l$ 的距离为 $\frac{6+12}{2} = 9$．
设直线 $l$ 的方程为 $y=9$．
因为 $A, B$ 在圆 $x^2+y^2=25$ 上，且 $A$ 到 $l$ 距离为 $6$，$B$ 到 $l$ 距离为 $12$，
所以 $A$ 的纵坐标为 $3$，$B$ 的纵坐标为 $-3$．
代入圆方程可得 $A(4, 3), B(-4, -3)$．
因为 $PB \perp AB$，且 $k_{AB} = \frac{3-(-3)}{4-(-4)} = \frac{3}{4}$，
所以 $k_{PB} = -\frac{4}{3}$．
直线 $PB$ 的方程为 $y - (-3) = -\frac{4}{3}(x - (-4))$，即 $y = -\frac{4}{3}x - \frac{25}{3}$．
令 $y=9$，解得 $x = -13$，即 $P(-13, 9)$．
所以 $PB = \sqrt{(-13 - (-4))^2 + (9 - (-3))^2} = \sqrt{81 + 144} = 15$．
故道路 $PB$ 的长为 $15$ 百米．

（2）$P$ 和 $Q$ 均不能选在 $D$ 处．理由如下：
由（1）知 $D(-4, 9)$．
若 $P$ 在 $D$ 处，线段 $PB$ 即为线段 $DB$．
线段 $DB$ 上的点横坐标均为 $-4$，纵坐标 $y \in [-3, 9]$．
点 $O(0,0)$ 到线段 $DB$ 上点 $(-4, y)$ 的距离 $d = \sqrt{16+y^2}$．
当 $y=0$ 时，$d=4 < 5$，即线段 $DB$ 上存在点到圆心距离小于半径，不满足规划要求．
若 $Q$ 在 $D$ 处，线段 $QA$ 即为线段 $DA$．
直线 $DA$ 过点 $D(-4, 9)$ 和 $A(4, 3)$，方程为 $\frac{y-3}{9-3} = \frac{x-4}{-4-4}$，即 $3x + 4y - 24 = 0$．
圆心 $O$ 到直线 $DA$ 的距离 $d = \frac{|-24|}{\sqrt{3^2+4^2}} = 4.8 < 5$．
设垂足为 $H$，由 $OH \perp DA$ 可得 $H$ 的横坐标 $x_H = \frac{72}{25} \in [-4, 4]$，即垂足在线段 $DA$ 上．
所以线段 $DA$ 上存在点到圆心距离小于半径，不满足规划要求．
综上，$P$ 和 $Q$ 均不能选在 $D$ 处．

（3）由规划要求，线段 $PB, QA$ 上所有点到 $O$ 的距离均不小于 $5$．
因为 $A, B$ 在圆上，这等价于 $\angle OBP \ge 90^\circ$ 且 $\angle OAQ \ge 90^\circ$．
设 $P(x_1, 9), Q(x_2, 9)$．
$\vec{BO} = (4, 3), \vec{BP} = (x_1+4, 12)$．
由 $\angle OBP \ge 90^\circ$ 得 $\vec{BO} \cdot \vec{BP} \le 0$，即 $4(x_1+4) + 36 \le 0$，解得 $x_1 \le -13$．
此时 $PB = \sqrt{(x_1+4)^2 + 144} \ge \sqrt{(-9)^2 + 144} = 15$．
$\vec{AO} = (-4, -3), \vec{AQ} = (x_2-4, 6)$．
由 $\angle OAQ \ge 90^\circ$ 得 $\vec{AO} \cdot \vec{AQ} \le 0$，即 $-4(x_2-4) - 18 \le 0$，解得 $x_2 \ge -0.5$．
题目要求 $PB = QA = d$．
由 $PB \ge 15$ 知 $d \ge 15$．
当 $d$ 取最小值 $15$ 时，$x_1 = -13$．
此时 $QA = 15$，即 $\sqrt{(x_2-4)^2 + 36} = 15$，解得 $(x_2-4)^2 = 189$．
$x_2 = 4 \pm 3\sqrt{21}$．
因为 $x_2 \ge -0.5$，且 $4 - 3\sqrt{21} < 0$，所以 $x_2 = 4 + 3\sqrt{21}$．
此时 $P(-13, 9), Q(4+3\sqrt{21}, 9)$．
$PQ = x_2 - x_1 = 4 + 3\sqrt{21} - (-13) = 17 + 3\sqrt{21}$．
故当 $d$ 最小时，$P, Q$ 两点间的距离为 $17 + 3\sqrt{21}$ 百米．