（12分）如图，在平行四边形 ABCM 中， AB = A…——2018 高考数学第 18 题答案解析

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；$L Y$ ：平面与平面垂直．
【专题】35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】（1）可得 $A B \perp A C, A B \perp D A$ ．且 $A D \cap A C=A$ ，即可得 $A B \perp$ 面 $A D C$ ，平面 $A C \mathrm{D} \perp$ 平面 ABC ；
（2）首先证明 $\mathrm{DC} \perp$ 面 ABC ，再根据 $\mathrm{BP}=\mathrm{DQ}=\frac{2}{3} \mathrm{DA}$ ，可得三棱锥 $\mathrm{Q}-\mathrm{ABP}$ 的高，求出三角形 $A B P$ 的面积即可求得三棱锥 $Q-A B P$ 的体积。

【解答】解：（1）证明：∵ 在平行四边形 ABCM 中，$\angle \mathrm{ACM}=90^{\circ}, \therefore \mathrm{AB} \perp \mathrm{AC}$ ，
又 $A B \perp D A$ ．且 $A D \cap A C=A$ ，
$\therefore A B \perp$ 面 $A D C, \therefore A B \subset$ 面 $A B C$,
∴ 平面 $A C D \perp$ 平面 $A B C$ ；
（2）$\because \mathrm{AB}=\mathrm{AC}=3, \quad \angle \mathrm{ACM}=90^{\circ}, \quad \therefore \mathrm{AD}=\mathrm{AM}=3 \sqrt{2}$ ，
$\therefore \mathrm{BP}=\mathrm{DQ}=\frac{2}{3} \mathrm{DA}=2 \sqrt{2}$ ，
由（1）得 $D C \perp A B$ ，又 $D C \perp C A, \therefore D C \perp$ 面 $A B C$ ，

∴ 三棱锥 $\mathrm{Q}-\mathrm{ABP}$ 的体积 $\mathrm{V}=\frac{1}{3} \mathrm{~S}_{\triangle \mathrm{ABP}} \times \frac{1}{3} \mathrm{DC}$
$=\frac{1}{3} \times \frac{2}{3} S_{\triangle A B C} \times \frac{1}{3} D C=\frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \times 3 \times 3 \times \frac{1}{3} \times 3=1$ ．
【点评】本题考查面面垂直，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．