（本小题满分 12 分） 已知函数 f(x)=π(x-co…——2014 高考数学第 20 题答案解析

【答案】（I）详见解析；（II）详见解析

## 【解析】

试题分析：（I）依题意，只需证明函数 $f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上存在唯一零点。往往转化为利用导数判断函数单调性、极值点，从而判断函数大致图象，进而说明零点分布情柷．本题当 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 时，$f^{\prime}(x)>0$ ，故 $f(x)$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上为增函数，再说明端点函数值异号；（II）与（I）类似，只需证明函数 $g(x)$ 在区间 $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$上存在唯一零点。但是不易利用导数判行函数 $g(x)=(\pi-x) \frac{\cos x}{1+\sin x}+\frac{2 x}{\pi}-1$ 大致图象，考虑到结论中 $x_{0}+x_{1}>\pi$ ，故需考虑第二问与第一问的关系，利用（I）的结论，设 $t=\pi-x$ ，则 $t \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ， $u^{\prime}(t)=\frac{f(t)}{\pi(1+\sin t)}$ ，根据第一问中 $f(t)$ 的符号，从而可判断函数 $u(t)$ 的单调性，进而判断函数 $u(t)$ 大致图象，确定函数 $u(t)$ 的零点，寻求函数 $g(x)$ 的零点与 $u(t)$ 零点的关系，从而证明不等式。

试题解析：证明：（I）当 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 时，$f^{\prime}(x)=\pi+\pi \sin x-2 \cos x>0$ ，所以 $f(x)$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上为增函数．又 $f(0)=-\pi-2<0 . f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi^{2}}{2}-4>0$ ．所以存在唯一 $x_{0} \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，使 $f\left(x_{0}\right)=0$ ．
（II）当 $x \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ 时，化简得 $g(x)=(\pi-x) \frac{\cos x}{1+\sin x}+\frac{2 x}{\pi}-1$ 。令 $t=\pi-x$ 。记 $u(t)=g(\pi-t)=- \frac{\mathrm{t} \cos t}{1+\sin t}-\frac{2 t}{\pi}+1$ 。 $t \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 。则 $u^{\prime}(t)=\frac{f(t)}{\pi(1+\sin t)}$ 。由（I）得，当 $t \in\left(0, \mathrm{x}_{0}\right)$ 时，$u^{\prime}(t)<0$ ；当 $t \in\left(x_{0}, \frac{\pi}{2}\right)$

时，$u^{\prime}(t)>0$ ．从而在 $\left(x_{0}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上 $u(t)$ 为悦函数，由 $u\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ 知，当 $t \in\left[x_{0}, \frac{\pi}{2}\right)$ 时，$u(t)<0$ ，所以 $u(t)$ 在 $\left[x_{0}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上无零点。在 $\left(0, x_{0}\right)$ 上 $u(t)$ 为减心歇，由 $u(0)=1$ 及 $u\left(x_{0}\right)<0$ 知存在唯一 $t_{0} \in\left(0, x_{0}\right)$ ，使得 $u\left(x_{0}\right)=0$ ．于是存在唯一 $t_{0} \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，使得 $u\left(t_{0}\right)=0$ ．设 $x_{1}=\pi-t_{0} \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) \cdot g\left(x_{1}\right)=g\left(\pi-t_{0}\right)=u\left(t_{0}\right)=0$ －因此存在唯一的 $x_{1} \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ ，使得 $g\left(x_{1}\right)=0$ ．由于 $x_{1}=\pi-t_{0}, t_{0}<\mathrm{x}_{0}$ ，所以 $x_{0}+x_{1}>\pi$ ．
【考点定位】1、函数的零点；2、利用导数判断区效单调性；3、利用导数求函数的最值．