2015_退役省自主命题 (2015·理)
14．如图，圆 $C$ 与 $x$ 轴相切于点 $T(1,0)$ ，与 $y$ 轴正半轴交于两点 $A, B$（ $B$ 在 $A$ 的上方），且 $|A B|=2$ ．
（I）圆 $C$ 的标准方程为 $\_\_\_\_$ ；
（II）过点 $A$ 任作一条直线与圆 $O: x^{2}+y^{2}=1$ 相交于 $M, N$ 两点，下列三个结论：
①$\frac{|N A|}{|N B|}=\frac{|M A|}{|M B|}$ ；
②$\frac{|N B|}{|N A|}-\frac{|M A|}{|M B|}=2$ ；
③$\frac{|N B|}{|N A|}+\frac{|M A|}{|M B|}=2 \sqrt{2}$ 。
其中正确结论的序号是 $\_\_\_\_$ ．（写出所有正确结论的序号）
【答案】（I）$(x-1)^{2}+(y-\sqrt{2})^{2}=2$ ；（II）①②③
【解析】（I）依题意，设 $C(1, r)$（ $r$ 为圆的半径），因为 $|A B|=2$ ，所以 $r=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$ ，所以圆心 $C(1, \sqrt{2})$ ，故圆的标准方程为 $(x-1)^{2}+(y-\sqrt{2})^{2}=2$ ．
（II）联立方程组 $\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ (x-1)^{2}+(y-\sqrt{2})^{2}=2\end{array}\right.$ ，解得 $\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y=\sqrt{2}-1\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y=\sqrt{2}+1\end{array}\right.$ ，因为 $B$ 在 $A$ 的上方，
所以 $A(0, \sqrt{2}-1), B(0, \sqrt{2}+1)$ ，
今直线 $M N$ 的方程为 $x=0$ ，此时 $M M(0,-1), N(0,1)$ ，
所以 $|M A|=\sqrt{2},|M B|=2+\sqrt{2},|N A|=2-\sqrt{2},|N B|=\sqrt{2}$
因为 $\frac{|N A|}{|N B|}=\frac{2-\sqrt{2}}{2}=1-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{|M A|}{|M B|}=\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$ ，所以 $\frac{|N A|}{|N B|}=\frac{|M A|}{|M B|}$ ．
所以 $\frac{|N B|}{|N A|}-\frac{|M A|}{|M B|}=\frac{\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+2}=\sqrt{2}+1-(\sqrt{2}-1)=2$ ，
$\frac{|N B|}{|N A|}+\frac{|M A|}{|M B|}=\frac{\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+2}=\sqrt{2}-1+\sqrt{2}+1=2 \sqrt{2}$,
正确结论的序号是①②③。
【考点定位】圆的标准方程，直线与圆的位置关系．
【名师点睛】用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法．若结果为定值，则可采用此法．特殊法是＂小题小做＂的重要策略．常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．