2015_退役省自主命题 (2015·文)
10．若不等式组 $\left\{\begin{array}{l}x+y-2 \leq 0 \\ x+2 y-2 \geq 0 \\ x-y+2 m \geq 0\end{array}\right.$ ，表示的平面区域为三角形，且其面积等于 $\frac{4}{3}$ ，则 m 的值为
【答案】B
【解析】如图，
由于不等式组 $\left\{\begin{array}{l}x+y-2 \leq 0 \\ x+2 y-2 \geq 0 \\ x-y+2 m \geq 0\end{array}\right.$, 表示的平面区域为 $\triangle A B C$ ，且其面积等于 $\frac{4}{3}$ ，
再注意到直线 $A B: x+y-2=0$ 与直线 $B C: x-y+2 m=0$ 互相垂直，所以 $\triangle A B C$ 是直角三角形；
易知，$A(2,0), B(1-m, 1+m), C\left(\frac{2-4 m}{3}, \frac{2 m+2}{3}\right)$ ；
从而 $S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2}|2+2 m| \cdot|m+1|-\frac{1}{2}|2+2 m| \cdot\left|\frac{2 m+2}{3}\right|=\frac{4}{3}$ ，
化简得：$(m+1)^{2}=4$ ，解得 $m=-3$ ，或 $m=1$ ；
检验知当 $m=-3$ 时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍去；所以 $m=1$ ；
故选 B．
【考点定位】线性规划与三角形的面积．
【名师点睛】本题考查线性规划问题中的二元一次不等式组表示平面区域，利用已知条件将三角形的面积用含 $m$ 的代数式表示出来，从而得到关于 $m$ 的方程来求解．本题属于中档题，注意运算的准确性及对结果的检验．