2013 高考数学第 22 题答案解析

22．（本小题满分 14 分）
设 $n$ 为正整数，$r$ 为正有理数．
（I）求函数 $f(x)=(1+x)^{r+1}-(r+1) x-1(x>-1)$ 的最小值；
（II）证明：$\frac{n^{r+1}-(n-1)^{r+2}}{r+1}（III）设 $x \in R$，记 $[x]$ 为不小于 $x$ 的最小整数，例如 $[2]=2,[\pi]=4,\left[-\frac{3}{2}\right]=1$．
令 $S=\sqrt[3]{81}+\sqrt[3]{82}+\sqrt[3]{83}+\cdots \cdots+\sqrt[3]{125}$，求 $[S]$ 的值。
（参考数据： $80^{\frac{4}{3}}=344.7,81^{\frac{4}{3}}=350.5,124^{\frac{4}{3}}=618.3,126^{\frac{4}{3}}=631.7$．）