［答案］①最小值为 $f(0)=0$②利用代换法㘬造不等式。③ 211
［解析］分析：（I）先求函数 $f(x)$ 的导数，再令导数大干；小于 0 即可求出函数的单调区间，进而求得最小值。
（II）根据第一问的结论，构造不等云 $(1+\mathrm{x})^{\gamma+1}>1+(r+1) x$，再代换即可证明结论。
（III）先放缩，再累加整理即可证明．
解：（I）$f^{\prime}(x)=(r+1)(1+x)^{\gamma}-(r+1)=(r+1)\left[(1+x)^{\gamma}-1\right]$
$\therefore f(\mathrm{x})$ 在 $(-1,0)$ 上单减，在 $(0,+\infty)$ 上单增．∴ $f(x)_{\min }=f(0)=0$
（II）由（I）知：当 $x>-1$ 时，$(1+x)^{\gamma+1}>(\gamma+1) x+1$（就是伯努利不等式了）
所证不等式即为：$\left\{\begin{array}{l}n^{\gamma+1}-(r+1) n^{\gamma}<(n-1)^{\gamma+1} \\ n^{\gamma+1}+(r+1) n^{\gamma}<(n+1)^{\gamma+1}\end{array}\right.$
若 $n \geq 2$，则 $n^{\gamma+1}-(r+1) n^{\gamma}<(n-1)^{\gamma+1} \Leftrightarrow(n-r-1)<\left(1-\frac{1}{n}\right)^{\gamma}(n-1)$
$$
\Leftrightarrow 1-\frac{r}{n-1}<\left(1-\frac{1}{n}\right)^{r}
$$
$\because\left(1-\frac{1}{n}\right)^{\gamma}>-\frac{r}{n}+1,-\frac{r}{n}>-\frac{r}{n-1}, \therefore\left(1-\frac{1}{n}\right)^{\gamma}>1-\frac{1}{n}>1-\frac{r}{n-1}$，故①式成立。
若 $n=1, n^{\gamma+1}-(r+1) n^{\gamma}<(n-1)^{-1}$，显然成立．
$n^{\gamma+1}+(r+1) n^{\gamma}<(n+1)^{\gamma+1} \Leftrightarrow n+r+1<r \frac{1}{n}(n+1)$
$\Leftrightarrow 1+\frac{r}{n+1}<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{r}$
$\because\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\gamma}>\frac{r}{n}+1, \frac{r}{n}>\frac{r}{n+1}, \therefore\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\gamma}>1+\frac{r}{n}>1+\frac{r}{n+1}$，故②式成立。
综上可得原不等式成立。
（III）由（II）可知：当 $k \in N^{*}$ 时，$\frac{3}{4}\left[k^{\frac{4}{3}}-(k-1)^{\frac{4}{3}}\right]<k^{\frac{1}{3}}<\frac{3}{4}\left[(k+1)^{\frac{4}{3}}-k^{\frac{4}{3}}\right]$
$$
\begin{aligned}
& S>\frac{3}{4} \sum_{k=81}^{125}\left[k^{\frac{4}{3}}-(k-1)^{\frac{4}{3}}\right]=\frac{3}{4}\left(125^{\frac{4}{3}}-80^{\frac{4}{3}}\right) \approx 210.225 \\
& S<\frac{3}{4} \sum_{K=81}^{125}\left[(k+1)^{\frac{4}{3}}-k^{\frac{4}{3}}\right]=\frac{3}{4}\left(126^{\frac{4}{3}}-81^{\frac{4}{3}}\right) \approx 210.9, \therefore[S]=211
\end{aligned}
$$
［ 考点定位］本题考查高次函数的性质及不等式的证明，考查综合分析问题的能力。