（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P - ABCD…——2016 高考数学第 18 题答案解析

【答案】（I ）详见解析；（II）$\frac{1}{3}$．

## 【解析】

试题分析：（I）探索线面平行，根据是线面平行的判定定理，先证明线线平行，再得线面平行，而这可以利用已知的平行，易得 $C D / / E B$；从而知 $M$ 为 DC 和 AB 的交点；（II）求线面角，可以先找到这个角，即作出直线在平面内的射影，再在三角形中解出，也可以利用已知图形中的垂直建立空间直角坐标系，用向量法求出线面角（通过平面的法向量与直线的方向向量的夹角来求得）．

试题解析：（I）在梯形 $A B C D$ 中，$A B$ 与 $C D$ 不平行．
延长 $A B, D C$，相交于点 $M(M \in$ 平面 $P A B)$，点 $M$ 即为所求的一个点．理由如下：
由已知，$B C / / E D$，且 $B C=E D$．
所以四边形 $B C D E$ 是平行四边形，所以 $C D / / E B$
从而 $C M / / E B$。
又 $E B \subset$ 平面 $P B E, C M \not \subset$ 平面 $P B E$，
所以 $C M / /$ 平面 $P B E$．

（说明：延长 $A P$ 至点 $N$，使得 $A P=P N$，则所找的点可以是直线 $M N$ 上任意一点）
（II）方法一：
由已知， $\mathrm{CD} \perp \mathrm{PA}, \mathrm{CD} \perp \mathrm{AD}, \mathrm{PA} \cap \mathrm{AD}=\mathrm{A}$，
所以 $\mathrm{CD} \perp$ 平面 PAD。
从而 $\mathrm{CD} \perp \mathrm{PD}$。
所以 $\angle \mathrm{PDA}$ 是二面角 $\mathrm{P}-\mathrm{CD}-\mathrm{A}$ 的平面角．
所以 $\angle \mathrm{PDA}=45^{\circ}$．
设 $B C=1$，则在 Rt $\triangle P A D$ 中，$P A=A D=2$．
过点 A 作 $\mathrm{AH} \perp \mathrm{CE}$，交 CE 的延长线于点 H，连接 PH．
易知 $\mathrm{PA} \perp$ 平面 ABCD，
从而 $\mathrm{PA} \perp \mathrm{CE}$．
于是 $\mathrm{CE} \perp$ 平面 PAH．
所以平面 $\mathrm{PCE} \perp$ 平面 PAH．
过 A 作 $\mathrm{AQ} \perp \mathrm{PH}$ 于 Q，则 $\mathrm{AQ} \perp$ 平面 PCE．
所以 $\angle \mathrm{APH}$ 是 PA 与平面 PCE 所成的角．
在 Rt $\triangle \mathrm{AEH}$ 中，$\angle \mathrm{AEH}=45^{\circ}, \mathrm{AE}=1$，
所以 $\mathrm{AH}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
在 Rt $\triangle \mathrm{PAH}$ 中， $\mathrm{PH}=\sqrt{P A^{2}+A H^{2}}=\frac{3 \sqrt{2}}{2}$，
所以 $\sin \angle \mathrm{APH}=\frac{A H}{P H}=\frac{1}{3}$．

**方法二**：

由已知， $\mathrm{CD} \perp \mathrm{PA}, \mathrm{CD} \perp \mathrm{AD}, \mathrm{PA} \cap \mathrm{AD}=\mathrm{A}$，
所以 $\mathrm{CD} \perp$ 平面 PAD。
于是 $\mathrm{CD} \perp \mathrm{PD}$．
从而 $\angle \mathrm{PDA}$ 是二面角 P－CD－A 的平面角．
所以 $\angle \mathrm{PDA}=45^{\circ}$。
由 $P A \perp A B$，可得 $P A \perp$ 平面 $A B C D$．
设 $\mathrm{BC}=1$，则在 Rt $\triangle \mathrm{PAD}$ 中， $\mathrm{PA}=\mathrm{AD}=2$．
作 $\mathrm{Ay} \perp \mathrm{AD}$，以 A 为原点，以 $\overrightarrow{A D}, \overrightarrow{A P}$ 的方向分别为 x 轴， z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 A－xyz，则 $A(0,0,0), P(0,0,2), C(2,1,0), E(1,0,0)$，

所以 $\overrightarrow{P E}=(1,0,-2), \overrightarrow{E C}=(1,1,0), \overrightarrow{A P}=(0,0,2)$
设平面 PCE 的法向量为 $\mathrm{n}=(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})$，
由 $\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{P E}=0, \\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{E C}=0,\end{array}\right.$ 得 $\left\{\begin{array}{l}x-2 z=0, \\ x+y=0,\end{array}\right.$ 设 $\mathrm{x}=2$，解得 $\mathrm{n}=(2,-2,1)$．
设直线 PA 与平面 PCE 所成角为 $\alpha$，则 $\sin \alpha=\frac{|n \cdot \overrightarrow{A P}|}{|n| \cdot|\overrightarrow{A P}|}=\frac{2}{2 \times \sqrt{2^{2}+(-2)^{2}+1^{2}}}=\frac{1}{3}$．
所以直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值为 $\frac{1}{3}$．

考点：线线平行、线面平行、向量法．
【名师点睛】本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力。证明线面平行时，可根据判定定理的条件在平面内找一条平行线，而这条平行线一般是由过面外的直线的一个平面与此平面相交而得，证明时注意定理的另外两个条件（线在面内，线在面外）要写全，否则会被扣分，求线面角（以及其他角），一种方法可根据定义作出这个角（注意还要证明），然后通过解三角形求出这个角。另一种方法建立空间直角坐标系，用向量法求角，这种方法主要是计算，不需要＂作角、证明＂，关键是记住相应公式即可。