(x^ 2 + 2 x )^ 6 的展开式中常数项是 _…——2020 高考数学第 14 题答案解析

【答案】240
【解析】
【分析】
写出 $\left(x^{2}+\frac{2}{x}\right)^{6}$ 二项式展开通项，即可求得常数项．

【详解】 $\because\left(x^{2}+\frac{2}{x}\right)^{6}$
其二项式展开通项：
$T_{r+1}=C_{6}^{r} \cdot\left(x^{2}\right)^{6-r} \cdot\left(\frac{2}{x}\right)^{r}$
$=C_{6}^{r} \cdot x^{12-2 r}(2)^{r} \cdot x^{-r}$
$=C_{6}^{r}(2)^{r} \cdot x^{12-3 r}$
当 $12-3 r=0$ ，解得 $r=4$
$\therefore\left(x^{2}+\frac{2}{x}\right)^{6}$ 的展开式中常数项是：$C_{6}^{4} \cdot 2^{4}=C_{6}^{2} \cdot 16=15 \times 16=240$ ．
故答案为： 240 ．
【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握 $(a+b)^{n}$ 的展开通项公式 $T_{r+1}=\mathrm{C}_{n}^{r} a^{n-r} b^{r}$ ，考查了分析能力和计算能力，属于基础题．