2013_退役省自主命题 (2013·理)
13．（5分）（2013•广东）给定区域 D ：$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+4 \mathrm{y} \geqslant 4 \\ \mathrm{x}+\mathrm{y} \leqslant 4 \\ \mathrm{x} \geqslant 0\end{array}\right.$ ．令点集 $\mathrm{T}=\left\{\left(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}\right) \in \mathrm{D} \mid \mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0} \in \mathrm{Z},\left(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}\right)\right.$ 是 $\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{y}$ 在D上取得最大值或最小值的点\}, 则 T 中的点共确定 $\_\_\_\_$条不同的直线．
【解答】
（5分）（2013•广东）给定区域 D ：$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+4 \mathrm{y} \geqslant 4 \\ \mathrm{x}+\mathrm{y} \leqslant 4 \\ \mathrm{x} \geqslant 0\end{array}\right.$ ．令点集 $\mathrm{T}=\left\{\left(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}\right) \in \mathrm{D} \mid \mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0} \in \mathrm{Z},\left(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}\right)\right.$ 是 $\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{y}$ 在D上取得最大值或最小值的点\}, 则 T 中的点共确定 $\_\_\_\_$ 6条不同的直线．
考点：简单线性规划的应用．
专题：不等式的解法及应用。
分析：先根据所给的可行域，利用几何意义求最值， $\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{y}$ 表示直线在 y 轴上的截距，只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最值即可，从而得出点集 T 中元素的个数，即可得出正确答案。
解答：解：画出不等式表示的平面区域，如图．
作出目标函数对应的直线，因为直线 $z=x+y$ 与直线 $x+y=4$ 平行，故直线 $z=x+y$ 过直线 $x+y=4$ 上的整数点：$(4,0),(3,1),(2,2),(1,3)$ 或 $(0,4)$ 时，直线的纵截距最大，$z$ 最大；
当直线过 $(0,1)$ 时，直线的纵截距最小， z 最小，从而点集 $\mathrm{T}=\{(4,0),(3,1),(2,2 ),(1,3),(0,4),(0,1)\}$ ，经过这六个点的直线一共有 6 条．
即T中的点共确定 6 条不同的直线。
故答案为： 6 。
点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．