向量 | a |=| b |=1,| c |= 2，且 a…——2023 高考数学第 4 题答案解析

【答案】D

## 【解析】

【分析】作出图形，根据几何意义求解．
【详解】因为 $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0}$ ，所以 $\vec{a}+\vec{b}=-\vec{c}$ ，
即 $\vec{a}^{2}+\vec{b}^{2}+2 \vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{c}^{2}$ ，即 $1+1+2 \vec{a} \cdot \vec{b}=2$ ，所以 $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$ 。
如图，设 $\overrightarrow{O A}=\vec{a}, \overrightarrow{O B}=\vec{b}, \overrightarrow{O C}=\vec{c}$ ，

由题知，$O A=O B=1, O C=\sqrt{2}, \triangle O A B$ 是等腰直角三角形，
$A B$ 边上的高 $O D=\frac{\sqrt{2}}{2}, A D=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，

所以 $C D=C O+O D=\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ，
$\tan \angle A C D=\frac{A D}{C D}=\frac{1}{3}, \cos \angle A C D=\frac{3}{\sqrt{10}}$,
$\cos \langle\vec{a}-\vec{c}, \vec{b}-\vec{c}\rangle=\cos \angle A C B=\cos 2 \angle A C D=2 \cos ^{2} \angle A C D-1$
$=2 \times\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^{2}-1=\frac{4}{5}$.
故选：D。