2013_退役省自主命题 (2013·理)
（22）（本小题满分 12 分，（I）小问 4 分，（II）小问8分）
对正整数 $n$ ，记 $I_{n}=\{1,2,3, \cdots, n\}, P_{n}=\left\{\left.\frac{m}{\sqrt{k}} \right\rvert\, m \in I_{n}, k \in I_{n}\right\}$ 。（I）求集合 $P_{7}$ 中元素的个数；
（II）若 $P_{n}$ 的子集 $A$ 中任意两个元素之和不是整数的平方，则称 $A$ 为＂稀疏集＂．求 $n$ 的最大值，使 $P_{n}$ 能分成两个不相交的稀疏集的并．
解析：新颖别致有创意，与往年命题风格完全不同，既考查了分类讨论、反证法、构造法等多种数学思想，又是一道以能力立意的好题，有较大的开放度和灵活性。
（I）当 $k=4$ 时，$\left\{\left.\frac{m}{\sqrt{k}} \right\rvert\, m \in I_{7}\right\}$ 中有 3 个数与 $I_{7}$ 中的 3 个数重复，因此 $P_{7}$ 中元素的个数为 $7 \times 7-3=46$
（II）先证：$n \geq 15$ 时，$P_{n}$ 不能分成两个不相交的稀疏集的并。若不然，设 $A, B$ 为不相交的稀疏集，使 $A \cup B=P_{n} \supseteq I_{n}$ ，不妨设 $1 \in A$ ，则因 $1+3=2^{2}$ ，故 $3 \notin A$ 即 $3 \in B$ 。同理 $6 \in A, 10 \in B$又推得 $15 \in A$ 但 $1+15=2^{4}$ ，这与 $A$ 为稀疏集矛盾
再证 $P_{14}$ 符合要求，当 $k=1$ 时，$\left\{\left.\frac{m}{\sqrt{k}}\right|^{m} \in I_{14}\right\}=I_{14}$ 可分成两个不相交的稀疏集之并，事实上，只要取 $A_{1}=\{1,2,4,6,9,11,13\}, B_{1}=\{3,5,7,8,10,12,14\}$ 则 $A_{1}, B_{1}$ 为稀疏集，且 $A_{1} \cup B_{1}=I_{14}$当 $k=4$ 时，集 $\left\{\left.\frac{m}{\sqrt{k}} \right\rvert\, m \in I_{14}\right\}$ 中除整数外剩下的数组成集 $\left\{\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2}, \cdots \frac{13}{2}\right\}$ ，可分解为下面两稀疏集的并：$A_{2}=\left\{\frac{1}{2}, \frac{5}{2}, \frac{9}{2}, \frac{11}{2}\right\}, B_{2}=\left\{\frac{3}{2}, \frac{7}{2}, \frac{13}{2}\right\}$
当 $k=9$ 时，集 $\left\{\left.\frac{m}{\sqrt{k}} \right\rvert\, m \in I_{14}\right\}$ 中除正整数外剩下的数组成集 $\left\{\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{4}{3}, \frac{5}{3}, \cdots, \frac{13}{3}, \frac{14}{3}\right\}$ ，可分解为下面两稀疏集的并：$A_{3}=\left\{\frac{1}{3}, \frac{4}{3}, \frac{5}{3}, \frac{10}{3}, \frac{13}{3}\right\}, B_{3}=\left\{\frac{2}{3}, \frac{7}{3}, \frac{8}{3}, \frac{11}{3}, \frac{14}{3}\right\}$
最后，集 $C=\left\{\left.\frac{m}{\sqrt{k}} \right\rvert\, m \in I_{14}, k \in I_{14}, E . k \neq 1,4,9\right\}$ 中的数字母均为无理数，它与 $P_{14}$ 中的任何其他树之和都不是整数，因此，令 $A=A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3} \cup C, B=B_{1} \cup B_{2} \cup B_{3}$ 则 $A$ 和 $B$ 是不相交的稀疏集，且 $A \cup B=P_{14}$ 综上，所 $n$ 求的最大值为 14
注：对的分拆方法不是唯一的