18．（本小题满分 12 分）
如图，在四棱柱 $P-A B C D$ 中， $\mathrm{PD} \perp$ 平面 $\mathrm{ABCD}, A B / / D C$，
$A B \perp A D, B C=5, D C=3, A D=4, \angle P A D=60^{\circ}$．
（I）当正视方向与向量 $\overrightarrow{A D}$ 的方向相同时，画出四棱锥 $P-A B C D$ 的正视图（要求标出尺寸，并写出演算过程）；
（II）若 M 为 PA 的中点，求证：求二面角 $D M / /$ 平面 $P B C$；
（III）求三棱锥 $D-P B C$ 的体积．
参考答案（I）在梯形 $A B C D$ 中，过点 $C$ 作 $C E \perp A B$，垂足为 $E$，由已知得，四边形 $A D C E$ 为矩形，$A E=C D=3$  在 Rt $\triangle B E C$ 中，由 $B C=5, C E=4$，依勾股定理得： $B E=3$，从而 $A B=6$ 又由 $P D \perp$ 平面 $A B C D$ 得，$P D \perp A D$ 从而在 Rt $\triangle P D A$ 中，由 $A D=4, \angle P A D=60^{\circ}$，得 $P D=4 \sqrt{3}$ 正视图如右图所示： （II）取 $P B$ 中点 $N$，连结 $M N, C N$  在 $\triangle P A B$ 中，$M$ 是 $P A$ 中点， $\therefore M N \| A B, \quad M N=\frac{1}{2} A B=3$，又 $C D \| A B, C D=3$ $\therefore M N \| C D, M N=C D$ ∴ 四边形 $M N C D$ 为平行四边形，$\therefore D M \| C N$ 又 $D M \not \subset$ 平面 $P B C, C N \subset$ 平面 $P B C$ $\therefore D M \|$ 平面 $P B C$ （III）$V_{D-F B C}=V_{P-D B C}=\frac{1}{3} S_{\triangle D B C} \cdot P D$ 又 $s_{\triangle P B C}=6, P D=4 \sqrt{3}$，所以 $V_{D-P B C}=8 \sqrt{3}$  解法二： （I）同解法— （II）取 $A B$ 的中点 $E$，连结 $M E, D E$ 在梯形 $A B C D$ 中，$B E \| C D$，且 $B E=C D$ ∴ 四边形 $B C D E$ 为平行四边形 $\therefore D E \| B C$，又 $D E \not \subset$ 平面 $P B C, B C \in$ 平面 $P B C$ $\therefore D E \|$ 平面 $P B C$，又在 $\triangle P A B$ 中，$M E \| P B$ $M E \not \subset$ 平面 $P B C, P B \subset$ 平面 $P B C$ $\therefore M E \|$ 平面 $P B C$．又 $D E \cap M E=E$， ∴ 平面 $D M E \|$ 平面 $P B C$, 又 $D M \subset$ 平面 $D M E$  $\therefore D M \|$ 平面 $P B C$ （III）同解法一
