2022_全国甲卷 (2022·文)
19．小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面 $A B C D$ 是边长为 8 （单位： cm ）的正方形，$\triangle E A B, \triangle F B C, \triangle G C D, \triangle H D A$ 均为正三角形，且它们所在的平面都与平面 $A B C D$ 垂直。
（1）证明：$E F / /$ 平面 $A B C D$ ；
（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
【答案】（1）证明见解析；
②$\frac{640}{3} \sqrt{3}$ ．
## 【解析】
【分析】（1）分别取 $A B, B C$ 的中点 $M, N$ ，连接 $M N$ ，由平面知识可知 $E M \perp A B, F N \perp B C$ ， $E M=F N$ ，依题从而可证 $E M \perp$ 平面 $A B C D, F N \perp$ 平面 $A B C D$ ，根据线面垂直的性质定理可知 $E M / / F N$ ，即可知四边形 $E M N F$ 为平行四边形，于是 $E F / / M N$ ，最后根据线面平行的判定定理即可证出；
（2）再分别取 $A D, D C$ 中点 $K, L$ ，由（1）知，该几何体的体积等于长方体 $K M N L-E F G H$ 的体积加上四棱锥 $B-M N F E$ 体积的 4 倍，即可解出．
【小问 1 详解】
如图所示：
分别取 $A B, B C$ 的中点 $M, N$ ，连接 $M N$ ，因为 $\triangle E A B, \triangle F B C$ 为全等的正三角形，所以 $E M \perp A B, F N \perp B C, E M=F N$ ，又平面 $E A B \perp$ 平面 $A B C D$ ，平面 $E A B \cap$ 平面 $A B C D=A B$ ， $E M \subset$ 平面 $E A B$ ，所以 $E M \perp$ 平面 $A B C D$ ，同理可得 $F N \perp$ 平面 $A B C D$ ，根据线面垂直的性质定理可知 $E M / / F N$ ，而 $E M=F N$ ，所以四边形 $E M N F$ 为平行四边形，所以 $E F / / M N$ ，又 $E F \not \subset$ 平面 $A B C D, M N \subset$ 平面 $A B C D$ ，所以 $E F / /$ 平面 $A B C D$ ．
## 【小问 2 详解】
如图所示：
分别取 $A D, D C$ 中点 $K, L$ ，由（1）知，$E F / / M N$ 且 $E F=M N$ ，同理有，$H E / / K M, H E=K M$ ， $H G / / K L, H G=K L, G F / / L N, G F=L N$ ，由平面知识可知，$B D \perp M N, M N \perp M K$ ， $K M=M N=N L=L K$ ，所以该几何体的体积等于长方体 $K M N L-E F G H$ 的体积加上四棱锥 $B-M N F E$ 体积的 4 倍．
因为 $M N=N L=L K=K M=4 \sqrt{2}, E M=8 \sin 60^{\circ}=4 \sqrt{3}$ ，点 $B$ 到平面 $M N F E$ 的距离即为点 $B$ 到直线 $M N$ 的距离 $d, d=2 \sqrt{2}$ ，所以该几何体的体积
$V=(4 \sqrt{2})^{2} \times 4 \sqrt{3}+4 \times \frac{1}{3} \times 4 \sqrt{2} \times 4 \sqrt{3} \times 2 \sqrt{2}=128 \sqrt{3}+\frac{256}{3} \sqrt{3}=\frac{640}{3} \sqrt{3}$.