（5分） ABC 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，…——2016 高考数学第 15 题答案解析

【考点】HU：解三角形．
【专题】34：方程思想；48：分析法；56：三角函数的求值；58：解三角形．
【分析】运用同角的平方关系可得 $\sin \mathrm{A}, \sin \mathrm{C}$ ，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得 $\sin \mathrm{B}$ ，运用正弦定理可得 $\mathrm{b}=\frac{\mathrm{a} \sin \mathrm{B}}{\sin \mathrm{A}}$ ，代入计算即可得到所求值．
【解答】解：由 $\cos \mathrm{A}=\frac{4}{5}, \cos \mathrm{C}=\frac{5}{13}$ ，可得
$\sin \mathrm{A}=\sqrt{1-\cos ^{2} \mathrm{~A}}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac{3}{5}$,
$\sin \mathrm{C}=\sqrt{1-\cos ^{2} \mathrm{C}}=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\frac{12}{13}$ ，

$\sin \mathrm{B}=\sin (\mathrm{A}+\mathrm{C})=\sin \mathrm{A} \cos \mathrm{C}+\cos \mathrm{A} \sin \mathrm{C}=\frac{3}{5} \times \frac{5}{13}+\frac{4}{5} \times \frac{12}{13}=\frac{63}{65}$ ，
由正弦定理可得 $\mathrm{b}=\frac{\mathrm{a} \sin \mathrm{B}}{\sin \mathrm{A}}$
$=\frac{1 \times \frac{63}{65}}{\frac{3}{5}}=\frac{21}{13}$.
故答案为：$\frac{21}{13}$ ．
【点评】本题考查正弦定理的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式，以及同角的平方关系的运用，考查运算能力，属于中档题．