若 y=(x-1)^ 2 +a x+sin (x+ π 2…——2023 高考数学第 13 题答案解析

【答案】2

【解析】

【分析】利用偶函数的性质得到 $f\left(-\frac{\pi}{2}\right)=f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ ，从而求得 $a=2$ ，再检验即可得解．
【详解】因为 $y=f(x)=(x-1)^{2}+a x+\sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)=(x-1)^{2}+a x+\cos x$ 为偶函数，定义域为 R ，
所以 $f\left(-\frac{\pi}{2}\right)=f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ ，即 $\left(-\frac{\pi}{2}-1\right)^{2}-\frac{\pi}{2} a+\cos \left(-\frac{\pi}{2}\right)=\left(\frac{\pi}{2}-1\right)^{2}+\frac{\pi}{2} a+\cos \frac{\pi}{2}$ ，
则 $\pi a=\left(\frac{\pi}{2}+1\right)^{2}-\left(\frac{\pi}{2}-1\right)^{2}=2 \pi$ ，故 $a=2$ ，
此时 $f(x)=(x-1)^{2}+2 x+\cos x=x^{2}+1+\cos x$ ，

所以 $f(-x)=(-x)^{2}+1+\cos (-x)=x^{2}+1+\cos x=f(x)$ ，
又定义域为 R ，故 $f(x)$ 为偶函数，
所以 $a=2$ ．
故答案为： 2 ．