（5分）已知 θ 是第四象限角，且 sin (θ+ π 4…——2016 高考数学第 14 题答案解析

【考点】GP：两角和与差的三角函数．
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值．

【分析】由 $\theta$ 得范围求得 $\theta+\frac{\pi}{4}$ 的范围，结合已知求得 $\cos \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)$ ，再由诱导公式求得 $\sin \left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)$ 及 $\cos \left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)$ ，进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得 $\tan \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)$ 的值。

【解答】解：$\because \theta$ 是第四象限角，
$\therefore-\frac{\pi}{2}+2 k \pi<\theta<2 k \pi$, 则 $-\frac{\pi}{4}+2 k \pi<\theta+\frac{\pi}{4}<\frac{\pi}{4}+2 k \pi, k \in Z$,
又 $\sin \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{3}{5}$ ，
$\therefore \cos \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{1-\sin ^{2}\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)}=\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^{2}}=\frac{4}{5}$ ．
$\therefore \cos \left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)=\sin \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{3}{5}, \sin \left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)=\cos \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{4}{5}$ ．
则 $\tan \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)=-\tan \left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)=-\frac{\sin \left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)}{\cos \left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)}=-\frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}}=-\frac{4}{3}$ ．
故答案为：$-\frac{4}{3}$ ．
【点评】本题考查两角和与差的正切，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．