2014_退役省自主命题 (2014·理)
14．设 $f(x)$ 是定义在 $(0,+\infty)$ 上的函数，且 $f(x)>0$ ，对任意 $a>0, b>0$ ，若经过点 $(a, f(a)),(b,-f(b))$的直线与 $x$ 轴的交点为 $(c, 0)$ ，则称 $c$ 为 $a, b$ 关于函数 $f(x)$ 的平均数，记为 $M_{f}(a, b)$ ，例如，当 $f(x)=1(x>0)$ 时，可得 $M_{f}(a, b)=c=\frac{a+b}{2}$ ，即 $M_{f}(a, b)$ 为 $a, b$ 的算术平均数．
①当 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ $(x>0)$ 时，$M_{f}(a, b)$ 为 $a, b$ 的几何平均数；
②当 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ $(x>0)$ 时，$M_{f}(a, b)$ 为 $a, b$ 的调和平均数 $\frac{2 a b}{a+b}$ ；
（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）
【答案】①$f(x)=\sqrt{x}(x>0)$ ；②$f(x)=x(x>0)$ ．
## 【解析】
试题分析：设 $A(a, f(a)), B(b,-f(b)), C(c, 0)$ ，则三点共线：
（1）依题意，$c=\sqrt{a b}$ ，则 $\frac{0-f(a)}{\sqrt{a b}-a}=\frac{0+f(b)}{\sqrt{a b}-b}, a>0, b>0$ ，化简得 $\frac{f(a)}{\sqrt{a}}=\frac{f(b)}{\sqrt{b}}$ ，
故可以选择 $f(x)=\sqrt{x}(x>0)$ ．
（2）依题意，$c=\frac{2 a b}{a+b}$ ，则 $\frac{0-f(a)}{\frac{2 a b}{a+b}-a}=\frac{0+f(b)}{\frac{2 a b}{a+b}}-b$ ，$a>0, b>0$ ，化简得 $\frac{f(a)}{a}=\frac{f(b)}{b}$ ，
故可以选择 $f(x)=x(x>0)$ ．
考点：两个数的几何平均数与调和平均数，难度中等。新定义型试题是高考的热点试题，考生错误往往有二，其一为不能正确理解题意，将新问题转化为所熟悉的数学问题；其二，不具备归纳、猜想、推理、传化等数学能力。但纵观湖北近四年高考试题，新定义型试题是必考试题，在专题复习中应加强训练．