（5分）如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸…——2017 高考数学第 16 题答案解析

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】法一：由题，连接 $O D$ ，交 $B C$ 于点 $G$ ，由题意得 $O D \perp B C, O G=\frac{\sqrt{3}}{6} B C$ ，设 $\mathrm{OG}=\mathrm{x}$ ，则 $\mathrm{BC}=2 \sqrt{3} \mathrm{x}, \mathrm{DG}=5-\mathrm{x}$ ，三棱锥的高 $\mathrm{h}=\sqrt{25-10 \mathrm{x}}$ ，求出 $\mathrm{S}_{\triangle \mathrm{ABC}}=3 \sqrt{3} \mathrm{x}^{2}$ ， $V=\frac{1}{3} S_{\triangle A B C} \times h=\sqrt{3} \cdot \sqrt{25 x^{4}-10 x^{5}}$ ，令 $f(x)=25 x^{4}-10 x^{5}, x \in\left(0, \frac{5}{2}\right), f^{\prime}( x)=100 x^{3}-50 x^{4}, f(x) \leq f(2)=80$ ，由此能求出体积最大值．
法二：设正三角形的边长为 x ，则 $\mathrm{OG}=\frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{x}=\frac{\sqrt{3}}{6} \mathrm{x}, F G=S G=5-\frac{\sqrt{3}}{6} \mathrm{x}, S O=\mathrm{h}= \sqrt{S G^{2}-G O^{2}}=\sqrt{\left(5-\frac{\sqrt{3}}{6} x\right)^{2}-\left(\frac{\sqrt{3}}{6} x\right)^{2}}=\sqrt{5\left(5-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}$ ，由此能示出三棱锥的体积的最大值。
【解答】解法一：由题意，连接 $O D$ ，交 $B C$ 于点 $G$ ，由题意得 $O D \perp B C, O G=\frac{\sqrt{3}}{6} B C$

即 OG 的长度与 BC 的长度成正比，
设 $O G=x$ ，则 $B C=2 \sqrt{3} x, D G=5-x$ ，
三棱锥的高 $\mathrm{h}=\sqrt{\mathrm{DG}^{2}-\mathrm{OG}^{2}}=\sqrt{25-10 \mathrm{x}+\mathrm{x}^{2}-\mathrm{x}^{2}}=\sqrt{25-10 \mathrm{x}}$ ，
$S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times(2 \sqrt{3} x)^{2}=3 \sqrt{3} x^{2}$,
则 $V=\frac{1}{3} S_{\triangle A B C} \times h=\sqrt{3} x^{2} \times \sqrt{25-10 x}=\sqrt{3} \cdot \sqrt{25 x^{4}-10 x^{5}}$ ，
令 $f(x)=25 x^{4}-10 x^{5}, x \in\left(0, \frac{5}{2}\right), f^{\prime}(x)=100 x^{3}-50 x^{4}$ ，
令 $f^{\prime}(x) \geq 0$ ，即 $x^{4}-2 x^{3} \leq 0$ ，解得 $x \leq 2$ ，
则 $f(x) \leq f(2)=80$ ，
$\therefore \mathrm{V} \leq \sqrt{3} \times \sqrt{80}=4 \sqrt{15} \mathrm{~cm}^{3}, \quad \therefore$ 体积最大值为 $4 \sqrt{15} \mathrm{~cm}^{3}$ ．
故答案为： $4 \sqrt{15} \mathrm{~cm}^{3}$ ．
解法二：如图，设正三角形的边长为 x ，则 $\mathrm{OG}=\frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{x}=\frac{\sqrt{3}}{6} \mathrm{x}$ ，
$\therefore \mathrm{FG}=\mathrm{SG}=5-\frac{\sqrt{3}}{6} \mathrm{x}$ ，
$S O=h=\sqrt{S G^{2}-G O^{2}}=\sqrt{\left(5-\frac{\sqrt{3}}{6} x\right)^{2}-\left(\frac{\sqrt{3}}{6} x\right)^{2}}=\sqrt{5\left(5-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}$,

∴ 三棱锥的体积 $\mathrm{V}=\frac{1}{3} \mathrm{~S}_{\triangle \mathrm{ABC}} \cdot \mathrm{h}$
$=\frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times \sqrt{5\left(5-\frac{\sqrt{3}}{3} x\right)}=\frac{\sqrt{15}}{12} \sqrt{5 x^{4}-\frac{\sqrt{3}}{3} x^{5}}$ ，
令 $\mathrm{b}(\mathrm{x})=5 \mathrm{x}^{4}-\frac{\sqrt{3}}{3} \mathrm{x}^{5}$ ，则 $\mathrm{b}^{\prime}(\mathrm{x})=20 \mathrm{x}^{3}-\frac{5 \sqrt{3}}{3} \mathrm{x}^{4}$ ，
令 $b^{\prime}(x)=0$ ，则 $4 x^{3}-\frac{x^{4}}{\sqrt{3}}=0$ ，解得 $x=4 \sqrt{3}$ ，
$\therefore \mathrm{V}_{\text {max }}=\frac{\sqrt{75}}{12} \times 48 \times \sqrt{5-4}=4 \sqrt{15}\left(\mathrm{~cm}^{3}\right)$.
故答案为： $4 \sqrt{15} \mathrm{~cm}^{3}$ ．

【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．