如图， A, B, C, D 为平面四边形 ABCD 的四…——2015 高考数学第 19 题答案解析

(1) 证明：
由二倍角公式可知 $\sin A = 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$，$\cos A = 1 - 2 \sin^2 \frac{A}{2}$。
所以
$$ \frac{1-\cos A}{\sin A} = \frac{1-(1-2 \sin^2 \frac{A}{2})}{2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}} = \frac{2 \sin^2 \frac{A}{2}}{2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}} = \frac{\sin \frac{A}{2}}{\cos \frac{A}{2}} = \tan \frac{A}{2} $$
即 $\tan \frac{A}{2}=\frac{1-\cos A}{\sin A}$ 得证。

(2) 解：
因为 $A+C=180^{\circ}$，且四边形内角和为 $360^{\circ}$，所以 $B+D=180^{\circ}$，即 $C=180^{\circ}-A$，$D=180^{\circ}-B$。
利用第 (1) 问结论及诱导公式 $\sin(180^{\circ}-\alpha)=\sin \alpha, \cos(180^{\circ}-\alpha)=-\cos \alpha$，可得：
$$ \tan \frac{C}{2} = \frac{1-\cos C}{\sin C} = \frac{1-\cos(180^{\circ}-A)}{\sin(180^{\circ}-A)} = \frac{1+\cos A}{\sin A} $$
$$ \tan \frac{D}{2} = \frac{1-\cos D}{\sin D} = \frac{1-\cos(180^{\circ}-B)}{\sin(180^{\circ}-B)} = \frac{1+\cos B}{\sin B} $$
同理 $\tan \frac{A}{2} = \frac{1-\cos A}{\sin A}$，$\tan \frac{B}{2} = \frac{1-\cos B}{\sin B}$。
所以原式可化简为：
$$ \begin{aligned} S &= \tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{C}{2}+\tan \frac{D}{2} \\ &= \left(\frac{1-\cos A}{\sin A} + \frac{1+\cos A}{\sin A}\right) + \left(\frac{1-\cos B}{\sin B} + \frac{1+\cos B}{\sin B}\right) \\ &= \frac{2}{\sin A} + \frac{2}{\sin B} \end{aligned} $$

接下来求 $\sin A$ 和 $\sin B$ 的值。
连接 $BD$，在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle CBD$ 中，由余弦定理得：
$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 AB \cdot AD \cos A$
$BD^2 = CB^2 + CD^2 - 2 CB \cdot CD \cos C$
因为 $C=180^{\circ}-A$，所以 $\cos C = -\cos A$。
联立上述两式：
$AB^2 + AD^2 - 2 AB \cdot AD \cos A = CB^2 + CD^2 + 2 CB \cdot CD \cos A$
代入数据 $AB=6, BC=3, CD=4, AD=5$：
$36 + 25 - 60 \cos A = 9 + 16 + 24 \cos A$
$61 - 60 \cos A = 25 + 24 \cos A$
$84 \cos A = 36 \implies \cos A = \frac{36}{84} = \frac{3}{7}$
因为 $A \in (0, \pi)$，所以 $\sin A = \sqrt{1-\cos^2 A} = \sqrt{1-\frac{9}{49}} = \frac{2\sqrt{10}}{7}$。

连接 $AC$，同理在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle ADC$ 中，由余弦定理得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 AB \cdot BC \cos B$
$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 AD \cdot CD \cos D$
因为 $D=180^{\circ}-B$，所以 $\cos D = -\cos B$。
联立得：
$AB^2 + BC^2 - 2 AB \cdot BC \cos B = AD^2 + CD^2 + 2 AD \cdot CD \cos B$
代入数据：
$36 + 9 - 36 \cos B = 25 + 16 + 40 \cos B$
$45 - 36 \cos B = 41 + 40 \cos B$
$76 \cos B = 4 \implies \cos B = \frac{4}{76} = \frac{1}{19}$
因为 $B \in (0, \pi)$，所以 $\sin B = \sqrt{1-\cos^2 B} = \sqrt{1-\frac{1}{361}} = \sqrt{\frac{360}{361}} = \frac{6\sqrt{10}}{19}$。

最后计算总和：
$$ \begin{aligned} S &= \frac{2}{\sin A} + \frac{2}{\sin B} \\ &= \frac{2}{\frac{2\sqrt{10}}{7}} + \frac{2}{\frac{6\sqrt{10}}{19}} \\ &= \frac{7}{\sqrt{10}} + \frac{19}{3\sqrt{10}} \\ &= \frac{21 + 19}{3\sqrt{10}} \\ &= \frac{40}{3\sqrt{10}} \\ &= \frac{4\sqrt{10}}{3} \end{aligned} $$