（12分）如图，菱形 A B C D 的对角线 A C 与…——2016 高考数学第 19 题答案解析

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LO：空间中直线与直线之间的位置关系。

【专题】31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离； $5 Q$ ：立体几何。

【分析】①根据直线平行的性质以菱形对角线垂直的性质进行证明即可．
②根据条件求出底面五边形的面积，结合平行线段的性质证明 $\mathrm{OD}^{\prime}$ 是五棱锥 $D^{\prime}-A B C F E$ 的高，即可得到结论。

【解答】（I）证明：∵ 菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别在 $A D$ ， CD 上， $\mathrm{AE}=\mathrm{CF}$ ，
$\therefore E F \| A C$ ，且 $E F \perp B D$
将 $\triangle \mathrm{DEF}$ 沿EF折到 $\triangle \mathrm{D}^{\prime} E F$ 的位置，
则 $D^{\prime} H \perp E F$ ，
$\because E F \| A C$,
$\therefore \mathrm{AC} \perp \mathrm{HD}^{\prime}$ ；
（ II ）若 $A B=5, ~ A C=6$ ，则 $A O=3, B O=O D=4$ ，
$\because \mathrm{AE}=\frac{5}{4}, \quad \mathrm{AD}=\mathrm{AB}=5$,
$\therefore \mathrm{DE}=5-\frac{5}{4}=\frac{15}{4}$ ，

$\because E F \| A C$,
$\therefore \frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AD}}=\frac{\mathrm{EH}}{\mathrm{AO}}=\frac{\mathrm{DH}}{\mathrm{OD}}=\frac{\frac{15}{4}}{5}=\frac{3}{4}$ ，
$\therefore \mathrm{EH}=\frac{9}{4}, \quad \mathrm{EF}=2 \mathrm{EH}=\frac{9}{2}, \quad \mathrm{DH}=3, \quad \mathrm{OH}=4-3=1$ ，
$\because \mathrm{HD}^{\prime}=\mathrm{DH}=3, \quad O D^{\prime}=2 \sqrt{2}$,
∴ 满足 $\mathrm{HD}^{\prime 2}=\mathrm{OD}^{\prime 2}+\mathrm{OH}^{2}$ ，
则 $\triangle O H D^{\prime}$ 为直角三角形，且 $O D^{\prime} \perp O H$ ，
又 $O D^{\prime} \perp A C, A C \cap O H=O$ ，
即 $O D^{\prime} \perp$ 底面 $A B C D$ ，
即 $\mathrm{OD}^{\prime}$ 是五棱锥 $\mathrm{D}^{\prime}$－ABCFE的高。
底面五边形的面积 $\mathrm{S}=\frac{1}{2} \times \mathrm{AC} \cdot \mathrm{OB}^{+} \frac{(\mathrm{EF}+\mathrm{AC}) \cdot \mathrm{OH}}{2}=\frac{1}{2} \times 6 \times 4+\frac{\left(\frac{9}{2}+6\right) \times 1}{2}=12+\frac{21}{4}=\frac{69}{4}$

则五棱锥 $\mathrm{D}^{\prime}-\mathrm{ABCFE}$ 体积 $\mathrm{V}=\frac{1}{3} \mathrm{~S} \bullet \mathrm{OD}^{\prime}=\frac{1}{3} \times \frac{69}{4} \times 2 \sqrt{2}=\frac{23 \sqrt{2}}{2}$ ．

【点评】本题主要考查空间直线和平面的位置关系的判断，以及空间几何体的体积，根据线面垂直的判定定理以及五棱锥的体积公式是解决本题的关键．本题的难点在于证明OD＇是五棱锥D＇－ABCFE的高。考查学生的运算和推理能力。