如图 5，在平面四边形 A B C D 中， A D=1,…——2014 高考数学第 18 题答案解析

【答案】① $\cos \angle C A D=\frac{2 \sqrt{7}}{7}$（2） 3
【解析】

试题分析：（1）题目已知三角形 $A C D$ 的三条边，利用 $\angle C A D$ 的余弦定理即可得到该角的余弦值．
（2）利用①问得到的 $\angle C A D$ 的余弦结合正余弦之间的关系即可求的该角的正弦值，再利用正余弦之间的关系即可得到 $\angle B A D$ ，而 $\angle C A D$ 与 $\angle B A D$ 之差即为 $\angle B A C$ ，则利用正弦的和差角公式即可得到角 $\angle B A C$ 的正弦值，再利用三角形 $A B C$ 的正弦定理即可求的 $B C$ 边长．

试题解析：（1）由 $\triangle D A C$ 关于 $\angle C A D$ 的余弦定理可得
$\cos \angle C A D=\frac{A D^{2}+A C^{2}-D C^{2}}{2 A D \cdot A C}=\frac{1+7-4}{2 \times 1 \times \sqrt{7}}=\frac{2 \sqrt{7}}{7}$ ，所以 $\cos \angle C A D=\frac{2 \sqrt{7}}{7}$ ．
（2）因为 $\angle B A D$ 为四边形内角，所以 $\sin \angle S A D>0$ 且 $\sin \angle C A D>0$ ，则由正余弦的关系可得
$\sin \angle B A D=\sqrt{1-\cos ^{2} \angle B A D}=\frac{3 \sqrt{21}}{14}$ 且 $\sin \angle C A D=\sqrt{1-\cos ^{2} \angle C A D}=\frac{\sqrt{21}}{7}$ ，再由正弦的和差角公式
可得 $\sin \angle B A C=\sin (\angle B A D-\angle C A D)=\sin \angle B A D \cos \angle C A D-\sin \angle C A D \cos \angle B A D$
$=\frac{3 \sqrt{21}}{14} \times \frac{2 \sqrt{7}}{7}-\frac{\sqrt{21}}{7} \times\left(-\frac{\sqrt{7}}{14}\right)=\frac{3 \sqrt{3}}{7}+\frac{\sqrt{3}}{14}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，再由 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的正弦定理可得
$\frac{A C}{\sin \angle C B A}=\frac{B C}{\sin \angle B A C} \Rightarrow B C=\frac{\sqrt{7}}{\left(\frac{\sqrt{21}}{6}\right)} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=3$.

## 【考点定位】三角形正余弦定理 正余弦之间的关系与和差角公式